Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz – toán lớp 12

Phương trình mặt cầu tuy không có nhiều dạng toán như phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng, nhưng đây cũng là dạng toán có trong chương trình thi THPT liên quan tới đường thẳng và mặt phẳng.

Vì vậy mà trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu, giải các dạng toán về phương trình mặt cầu để thấy sự liên quan mật thiết giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

I. Lý thuyết về mặt cầu, phương trình mặt cầu

1. Mặt cầu là gì?

– Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.

mặt cầu tâm O bán kính R

– Ký hiệu: S(O;R) ⇒ S(O;R) = {M/OM = R}

2. Các dạng phương trình mặt cầu

• Phương trình chính tắc của mặt cầu:

– Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c), bán kính R > 0 có pt là:

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

• Phương trình tổng quát của mặt cầu:

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (*)

◊ Điều kiện để phương trình (*) là phương trình mặt cầu: a2 + b2 + c2 – d > 0.

◊ S có tâm O(a; b; c) và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 1

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

• Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) ⇒ d = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Khi đó:

◊ Nếu d > R: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung

◊ Nếu d = R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Khi đó (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

◊ Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm O’ và bán Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 2

vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳngvị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

* Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm O thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn có diện tích lớn nhất.

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

• Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O lên Δ, khi đó :

◊ Nếu OH > R: Δ không cắt mặt cầu.

◊ Nếu OH = R: Δ tiếp xúc với mặt cầu. Khi đó Δ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

◊ Nếu OH < R: Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầuvị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

  d[O,Δ] = OH, lúc đó:Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 3

5. Đường tròn trong không gian Oxyz

– Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (P).

Xem thêm:  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12

 (S):  x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 

 (P): Ax + By + Cz + D = 0

– Xác định tâm O’ và bán kính r của (C).

° Tâm O’ = d ∩ (P).

 – Trong đó d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp (P).

° Bán kính: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 4

6. Điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng với mặt cầu, mặt phẳng với mặt cầu

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d[O;Δ] = R

+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇔ d[O;(P)] = R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo). sử dụng tính chất: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 5

II. Các dạng bài tập toán về phương trình mặt cầu

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

* Phương pháp:

+) Cách 1: Viết PT mặt cầu dạng chính tắc

 Bước 1: Xác định tâm O(a; b; c).

 Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

 Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là:

 (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

+) Cách 2: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát

 – Gọi phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

 – Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a,b,c,d với  a2 + b2 + c2 – d > 0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3.

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

* Lời giải:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3. có phương trình là:

  (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

– Ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 6Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 7

– Mặt cầu tâm O(1; 2; 0) bán kính R = OP = 3√2 có phương trình:

  (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

– Ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 8

– Gọi O là trung điểm của AB ⇒ Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 9

– Mặt cầu tâm Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 9 và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 11 có phương trình:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 12

 * Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

Xem thêm:  Top 5 Đại Học Dẫn Đầu Về Ngành Kinh Tế Nông Nghiệp

1. (S) qua A(3; 1; 0) , B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

2. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 = 0

3. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng Δ: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 13

* Lời giải:

a) Gọi I(a; 0 ; 0) ∈ Ox, ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 14

– Vì (S) đi qua A, B nên ⇒ IA = IB

Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 15

Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 16

⇒ I(10; 0; 0) và Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 17

– Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 18 có phương trình là:

 (x – 10)2 + y2 + z2 = 50

b) Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 19

– Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 có phương trình là:

 x2 + y2 + z2 = 9

c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒  Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 20

– Đường thẳng Δ có VTCP Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 21 nên ta có:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 22Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 23

– Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Δ nên d[I,Δ] = R

Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 24

⇒ Vậy mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 25  có phương trình là:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 26

* Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) , C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp (Oyz)

* Lời giải:

a) Có thể giải theo 2 cách:

* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

– Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 27Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 28

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 29 có phương trình là:

 (x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

– Gọi phương trình mặt cầu có dạng:  x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , (a2 + b2 + c2 – d > 0).

– Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 30Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 31

– Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

 (x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

2. Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên ta có I(0;b;c)

– Ta lại có: IA = IB = IC Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 32

⇒ Mặt cầu có tâm I(0;7;5) và bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 29  có pt là:

 x2 + (y – 7)2 + (z – 5)2 = 26.

• Dạng 2: Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

* Phương pháp:

– Sử dụng các công thức liên quan về vị trí tương đối giữa đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu:

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d[O;Δ] = R

+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇔ d[O;(P)] = R

 Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 34 và mặt cầu (S): Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 35, tìm số giao điểm của Δ và (S).

Xem thêm:  MongoDB là gì? Những tính năng của MongoDB bạn nên biết

* Lời giải:

– Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0;1;2) và có VTCP là Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 36

– Mặt cầu (S) được viết lại:

 (x2 – 2x + 1) + y2 + (z2 + 4z + 4) – 4 = 0

 ⇔ (x – 1)2 + y2 + (z+2)2 = 4

⇒ Mặt cầu có tâm I(1;0;-2) và bán kính R = 2.

– Ta có Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 37 và Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 38

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 39

– Ta thấy: d(I, Δ) > R nên đường thẳng không cắt mặt cầu.

 Ví dụ 2: Cho điểm I(1;-2;3).

a) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

b) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ): Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 40

* Lời giải:

a) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

– Gọi M là hình chiếu của I(1;-2;3) lên Oy, ta có M(0;-2;0)

– Ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 41 ⇒ Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 42 là bán kính của mặt cầu cần tìm.

⇒ (x – 1)+ (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10.

b) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ)

– Phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(-1;2;-3) có VTCP Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 43

– Ta có Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 44  và Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 45Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 46

Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 47Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 48Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 49

⇒ Phương trình mặt cầu I(1;-2;3) bán kính Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 50 là:

 (x – 1)+ (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50.

* Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (Δ) : Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 51 tại 2 điểm A và B sao cho AB = 16. Viết phương trình của (S).

* Lời giải:

– Đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(11;0;-25) có VTCP là Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 52

– Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ), vì vậy

mặt phẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm

– Ta có Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 52 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 54  và Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 55Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 56

Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 57 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 58 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 59

⇒ Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 60Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 61

⇒ Mặt cầu (S) có tâm  I(2;3;-1) và bán kính R = 17 có phương trình là:

 (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 172 = 289.

* Ví dụ 4: Cho điểm I(1;0;0) và đường thẳng (Δ): Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 62 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng (Δ) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB đều.

* Lời giải:

– Đường thẳng (Δ) đi qua M(1;1;-2) và có VTCP Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 63

– Ta có Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 64; Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 65Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 66

– Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ) , ta có:

 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 67 Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 68

– Xét tam giác IAB có IH = Rsin(60) nên: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 69

⇒ Mặt cầu có phương trình là: Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12 70

Hy vọng với phần hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HocThuat.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *