Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính đơn điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình - Toán Lớp 12 - Đề án 2020 - Tổng Hợp Chia Sẻ Hình ảnh, Tranh Vẽ, Biểu Mẫu Trong Lĩnh Vực Giáo Dục

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình bất phương trình là một trong những dạng toán về hàm số thường hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp 12 hay kỳ thi THPT quốc gia.

Vậy ứng dụng hàm số giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

¤ Bài toán yêu cầu giải PT: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến):

– Nếu là PT: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

– Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm được nghiệm

¤ Định lý này cũng được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.

2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.

* Lưu ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

3. Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y).

II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a)x²⁰¹⁹ + x = 2

b) $small x^2+sqrt{x-1}=5$

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x²⁰¹⁹ + x ⇒ f'(x) = 2019x²⁰¹⁸ + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác f(1) = 1²⁰¹⁹ + 1 = 2 nên theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: Với bài toán này các em thấy không phải dạng quen thuộc và số mũ khá lớn nên cần nghĩ đến việc ứng dụng hàm số để giải, và các em thấy việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nhiều.

b) Điều kiện x ≥ 1 và ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

– Đặt: $small f(x)=x^2+sqrt{x-1}$ với x > 1.

$small Rightarrow f'(x)=2x+frac{1}{2sqrt{x-1}}>0,x>1$

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, ta có $small f(2)=2^{2}+sqrt{2-1}=5$ nên theo định lý 1 và 3, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: – Với bài toán này nếu vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và điều kiện khá phức tạp và gây khó khăn hơn việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

– Khi dự đoán nghiệm thì thường thử với ±2; ±1; ±1/2 và 0. Đối với hàm có căn thức thì giá trị của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận giá trị là số chính phương (số khai căn ra được các số nguyên).

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

small a)sqrt{x+3}+sqrt{x+sqrt{7x+2}}=4

$small b)3x^7-sqrt{5-4x}=3-x^3$

$small c)sqrt{5x^3-1}+sqrt[3]{2x-1}=4-x$

° Lời giải:

a) TXĐ: $small D=left { xin mathbb{R}|xgeq frac{7-sqrt{57}}{2} ight }$

– Đặt small f(x)=sqrt{x+3}+sqrt{x+sqrt{7x+2}} , ta có f(x) là hàm liên tục trên D.

$small f'(x)=frac{1}{2sqrt{x+3}}+frac{1+frac{7}{2sqrt{7x+2}}}{2sqrt{x+sqrt{7x+2}}}>0,$ small forall xin D nên hàm số f(x) luôn đồng biến.

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

(Vì nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm; hay nếu x < 1 ⇒ f(x) < f(1) = 4 và pt cũng vô nghiệm).

b) TXĐ: $small D=left { xin mathbb{R}|xleq frac{5}{4} ight }$

– Phương trình đã cho $small Leftrightarrow 3x^7+x^3-sqrt{5-4x}=3$

– Đặt $small f(x)=3x^7+x^3-sqrt{5-4x}$ liên tục trên D và

$small f'(x)=21x^6+3x^2+frac{2}{sqrt{5-4x}}>0,forall xin D$

⇒ f(x) là hàm đồng biến trên D

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) TXĐ: $small D=left { xin mathbb{R}|xgeq frac{1}{sqrt[3]{5}} ight }$

– Ta có: $small sqrt{5x^3-1}+sqrt[3]{2x-1}=4-x$

$small Leftrightarrow sqrt{5x^3-1}+sqrt[3]{2x-1}+x=4$

Xét $small f(x)=sqrt{5x^3-1}+sqrt[3]{2x-1}+x$

$small Rightarrow f'(x)=frac{15x^2}{2sqrt{5x^3-1}}+frac{2}{3}.frac{1}{sqrt[3]{(2x-1)^2}}+1>0$ , nên hàm số đồng biến trên D.

– Mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: Với bài toán trên thì việc vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức, các phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ đều khá khó và phức tạp hơn rất nhiều việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

$small a)sqrt[3]{x+2}+sqrt[3]{x+1}=sqrt[3]{2x^2+1}+sqrt[3]{2x^2}$

$small b)log_{3}left ( frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5} ight )=x^2+3x+2$

° Lời giải:

a) Đối với bài toán cách giải sẽ không hoàn toàn giống các bài toán ở ví dụ 1 và 2. Ta để ý thấy biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung 1 mối liên hệ, ở vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 và vế phải là 2x² + 1 = (2x²) + 1, như vậy nếu đặt $small u=sqrt[3]{x+1},v=sqrt[3]{2x^2}$ thì phương trình đã cho trở thành:

$small u+sqrt[3]{u^{3}+1}=v+sqrt[3]{v^3+1}Leftrightarrow f(u)=f(v)$

Xét $small f(t)=t+sqrt[3]{t^3+1}$ là một hàm liên tục và $small f'(t)=1+frac{t^{2}}{sqrt[3]{(t^3+1)^2}}>0$

⇒ f(t) là hàm đồng biến. nên theo định lý 2 ta có:

$small f(u)=f(v)Leftrightarrow u=vLeftrightarrow 2x^2=x+1Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1 x=-frac{1}{2} end{matrix} ight.$

– Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.

b) Điều kiện: $small left{egin{matrix} x^2+x+3>0 2x^2+4x+5>0 end{matrix} ight.$ đúng ∀x.

– Để ý các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

(2x²+ 4x + 5) – (x² + x + 3) = x² + 3x + 2. nên ta có phương trình ban đầu trở thành:

$small log_{3}(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)$ small =(2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)

small Leftrightarrow log_3(x^2+x+3)+(x^2+x+3) small = log_3(2x^2+4x+5)+(2x^2+4x+5) (*)

– Đặt u = x² + x + 3; v = 2x² + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

$small (*)Leftrightarrow log_{3}u+u=log_3v+vLeftrightarrow f(u)=f(v)$

Xét hàm $small f(t)=log_3t+t;(t>0)Rightarrow f'(t)=frac{1}{t.ln3}+1>0,forall t>0$

⇒ f(t) là hàm đồng biến.

– Mặt khác, từ (*) ta có: small f(x^2+x+3)=f(2x^2+4x+5)

small Leftrightarrow x^2+x+3=2x^2+4x+5 $small Leftrightarrow x^2+3x+2=0Leftrightarrow left [egin{matrix} x=-1 x=-2 end{matrix} ight.$

– Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = {-1;-2}.

* Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a) 3^x + 4^x = 5^x

b) 9^x + 2(x – 2)3^x + 2x – 5 = 0

° Lời giải:

a) 3^x + 4^x = 5^x (1)

– Chia 2 vế của pt (1) cho 5^x ta được:

$small (1)Leftrightarrow left (frac{3}{5} ight )^x+left ( frac{4}{5} ight )^x=1$

– Xét hàm: $small f(x)=left (frac{3}{5} ight )^x+left ( frac{4}{5} ight )^x$ là hàm nghịch biến (vì đây là hàm mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 nên là hàm nghịch biến, hoặc có thể tính f'(x) sẽ thấy hàm nghịch biến).

– Mặt khác, ta có f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.

* Nhận xét: Với bài toán này rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số để giải sẽ dễ dàng hơn.

b) 9^x + 2(x – 2)3^x + 2x – 5 = 0

– Đặt t = 3^x > 0 phương trình trở thành

$small t^2+2(x-2)t+2x-5=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=-1 t=5-2x end{matrix} ight.$

– Đối chiếu điều kiện t = -1 < 0 (loại)

– Với t = 5 – 2x ⇔ 3^x = 5 – 2x ⇔ 3^x + 2x – 5 = 0

Xét f(x) = 3^x + 2x – 5 ⇒ f'(x) = 3^x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) $small 3sqrt{3-2x}+frac{5}{sqrt{2x-1}}-2xleq 6$

b) $small log_7x>log_3(2+sqrt{x})$

c) $small sqrt{x^2-2x+3}-sqrt{x^2-6x+11}>sqrt{3-x}-sqrt{x-1}$

° Lời giải:

a) TXĐ: $small D=left { xin mathbb{R}|frac{1}{2}<xleq frac{3}{2} ight }$

– Xét hàm: $small f(x)=small 3sqrt{3-2x}+frac{5}{sqrt{2x-1}}-2x$ ta có:

$small f'(x)=-frac{3}{sqrt{3-2x}}-frac{5}{sqrt{(2x-1)^3}}-2<0,forall xin D$

⇒ f(x) là hàm số nghịch biến và f(1) = 6.

⇒ f(x) ≤ 6 = f(1) ⇔ x ≥ 1.

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: $small left [ 1;frac{3}{2} ight ]$

b) Điều kiện: x>0

– Đặt log₇x = t ⇔ x = 7^t bất phương trình đã cho trở thành:

$small t>log_3(2+sqrt{7^{t}})Leftrightarrow 3^t>2+sqrt{7^{t}}$

$small Leftrightarrow 1>2left (frac{1}{3} ight )^t+left ( frac{sqrt{7}}{3} ight )^t=f(t)$

Do f(t) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên BPT f(t) < f(2) ⇔ t > 2 hay log₇x > 2 ⇔ x > 49.

c) TXĐ: small D=left { xin mathbb{R}|1leq xleq 3 ight }

– Bất phương trình tương đương:

$small sqrt{x^2-2x+3}+sqrt{x-1}>sqrt{3-x}+sqrt{x^2-6x+11}$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-1)^2+2}+sqrt{x-1}>sqrt{(3-x)^2+2}+sqrt{3-x}$

– Xét hàm: $small f(t)=sqrt{t+2}+sqrt{t}Rightarrow f'(t)=frac{1}{2sqrt{t+2}}+frac{1}{2sqrt{t}}>0,t>0$

⇒ f(t) là hàm đồng biến trên khoảng [1;3]

Khi đó BPT đã cho tương đương với f(x – 1) > f(3 – x) ⇔ x – 1 > 3 – x ⇔ x>2

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2<x≤3.

III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.

Bài 1. Giải các phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a) small sqrt{x}+sqrt{x-5}+sqrt{x+7}+sqrt{x+16}=14

b) $small 2sqrt{3x+1}-frac{3}{sqrt{2-x}}=3-2x$

c) $small sqrt{4x-1}+sqrt{4x^2-1}=1$

d) $small sqrt{3-x+x^2}-sqrt{2+x-x^2}=1$

e) $small sqrt{x+sqrt{x^2-x+1}}-sqrt{x+1+sqrt{x^2+x+1}}=1$

f) small 8^x+18^x=2.27^x

g) $small -2^{x^2-x}+2^{x-1}=(x-1)^2$

h) small 25^x-2(3-x)5^x+2x-7=0

i) small lg(x^2-x-6)+x=lg(x+2)+4

j) $small log_2(1+sqrt[3]{x})=log_7x$

Bài 2. Giải các Bất phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a) small sqrt{x+9}+sqrt{2x+4}>5

b) $small sqrt{x}+sqrt{x+7}+2sqrt{x^2+7x}<35-2x$

c) $small 3^{sqrt{x+4}}+2^{sqrt{2x+4}}>13$

d) $small frac{3^{2-x}+3-2x}{4^x-2}geq 0$

e) $small log_2sqrt{x+1}+log_3sqrt{x+9}>1$

Như vậy, đối với rất nhiều bài toán giải phương trình và bất phương trình mà nếu ta áp dụng giải theo các phương pháp đã biết (như phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,…) thì sẽ rất khó để giải quyết bài toán, tuy nhiên nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở lên dễ dàng hơn rất nhiều.

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã có thể rèn được kỹ năng giải toán và nhận dạng được một số bài toán giải phương trình và bất phương trình sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Xem thêm: