Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình – Toán lớp 12

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình bất phương trình là một trong những dạng toán về hàm số thường hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp 12 hay kỳ thi THPT quốc gia.

Vậy ứng dụng hàm số giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

¤ Bài toán yêu cầu giải PT: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến):

– Nếu là PT: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

– Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm được nghiệm

¤ Định lý này cũng được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.

2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.

* Lưu ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

3. Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y).

II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

Xem thêm:  Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12

a)x2019 + x = 2

b)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 1

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x2019 + x ⇒ f'(x) = 2019x2018 + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác f(1) = 12019 + 1 = 2 nên theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: Với bài toán này các em thấy không phải dạng quen thuộc và số mũ khá lớn nên cần nghĩ đến việc ứng dụng hàm số để giải, và các em thấy việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nhiều.

b) Điều kiện x ≥ 1 và ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

– Đặt: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 2 với x > 1.

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 3

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, ta có Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: – Với bài toán này nếu vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và điều kiện khá phức tạp và gây khó khăn hơn việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

– Khi dự đoán nghiệm thì thường thử với ±2; ±1; ±1/2 và 0. Đối với hàm có căn thức thì giá trị của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận giá trị là số chính phương (số khai căn ra được các số nguyên).

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 5

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 6

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 7

° Lời giải:

a) TXĐ: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 8

– Đặt Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 9, ta có f(x) là hàm liên tục trên D.

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 10 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 11 nên hàm số f(x) luôn đồng biến.

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

(Vì nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm; hay nếu x < 1 ⇒ f(x) < f(1) = 4 và pt cũng vô nghiệm).

b) TXĐ: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 12

– Phương trình đã cho Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 13

– Đặt Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 14 liên tục trên D và

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 15

⇒ f(x) là hàm đồng biến trên D

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) TXĐ: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 16

– Ta có: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 17

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 18

Xét Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 19

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 20, nên hàm số đồng biến trên D.

– Mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Xem thêm:  Toán 12 - Hàm số, các dạng toán liên quan khảo sát hàm số

* Nhận xét:  Với bài toán trên thì việc vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức, các phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ đều khá khó và phức tạp hơn rất nhiều việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 21

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 22

° Lời giải:

a) Đối với bài toán cách giải sẽ không hoàn toàn giống các bài toán ở ví dụ 1 và 2. Ta để ý thấy biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung 1 mối liên hệ, ở vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 và vế phải là 2x2 + 1 = (2x2) + 1, như vậy nếu đặt Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 23 thì phương trình đã cho trở thành:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 24

Xét Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 25 là một hàm liên tục và Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 26

⇒ f(t) là hàm đồng biến. nên theo định lý 2 ta có:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 27

– Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.

b) Điều kiện: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 28 đúng ∀x.

– Để ý các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

(2x+ 4x + 5) – (x2 + x + 3) = x2 + 3x + 2. nên ta có phương trình ban đầu trở thành:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 29 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 30

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 31 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 32 (*)

– Đặt u = x2 + x + 3; v = 2x2 + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 33

Xét hàm Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 34

⇒ f(t) là hàm đồng biến.

– Mặt khác, từ (*) ta có: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 35

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 36 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 37

– Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = {-1;-2}.

* Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a) 3x + 4x = 5x

b) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

° Lời giải:

a) 3x + 4x = 5x (1)

– Chia 2 vế của pt (1) cho 5x ta được:

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 38

– Xét hàm: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 39là hàm nghịch biến (vì đây là hàm mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 nên là hàm nghịch biến, hoặc có thể tính f'(x) sẽ thấy hàm nghịch biến).

– Mặt khác, ta có f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.

* Nhận xét: Với bài toán này rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số để giải sẽ dễ dàng hơn.

b) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

– Đặt t = 3x > 0 phương trình trở thành

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 40

– Đối chiếu điều kiện t = -1 < 0 (loại)

Xem thêm:  Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình - Chuyển đề Toán 12

– Với t = 5 – 2x ⇔ 3x = 5 – 2x ⇔ 3x + 2x – 5 = 0

Xét f(x) = 3x + 2x – 5 ⇒ f'(x) = 3x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 41

b)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 42

c)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 43

° Lời giải:

a) TXĐ: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 44

– Xét hàm: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 45 ta có:

 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 46

⇒ f(x) là hàm số nghịch biến và f(1) = 6.

⇒ f(x) ≤ 6 = f(1) ⇔ x ≥ 1.

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 47

b) Điều kiện: x>0

– Đặt log7x = t ⇔ x = 7t bất phương trình đã cho trở thành:

 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 48

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 49

Do f(t) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên BPT f(t) < f(2) ⇔ t > 2 hay log7x > 2 ⇔ x > 49.

c) TXĐ: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 50

– Bất phương trình tương đương:

 Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 51

Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 52

– Xét hàm: Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 53

⇒ f(t) là hàm đồng biến trên khoảng [1;3]

Khi đó BPT đã cho tương đương với f(x – 1) > f(3 – x) ⇔ x – 1 > 3 – x ⇔ x>2

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2<x≤3.

III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.

Bài 1. Giải các phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 54

b)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 55

c)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 56

d)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 57

e)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 58

f)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 59

g)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 60

h)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 61

i)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 62

j)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 63

Bài 2. Giải các Bất phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 64

b)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 65

c)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 66

d)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 67

e)Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình - Toán lớp 12 68

Như vậy, đối với rất nhiều bài toán giải phương trình và bất phương trình mà nếu ta áp dụng giải theo các phương pháp đã biết (như phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,…) thì sẽ rất khó để giải quyết bài toán, tuy nhiên nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở lên dễ dàng hơn rất nhiều.

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã có thể rèn được kỹ năng giải toán và nhận dạng được một số bài toán giải phương trình và bất phương trình sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *