Ứng dụng Hàm số (Sử dụng tính đơn điệu) giải Phương trình, Bất phương trình – Toán lớp 12

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình bất phương trình là một trong những dạng toán về hàm số thường hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp 12 hay kỳ thi THPT quốc gia.

Vậy ứng dụng hàm số giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

¤ Bài toán yêu cầu giải PT: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến):

– Nếu là PT: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

– Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm được nghiệm

¤ Định lý này cũng được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.

2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.

* Lưu ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Xem thêm:  Trà Xanh là gì ? Hải Tú có liên quan gì đến Nickname Trà Xanh ?

3. Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y).

II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a)x2019 + x = 2

b)1593491795uohjj0zckk

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x2019 + x ⇒ f'(x) = 2019x2018 + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác f(1) = 12019 + 1 = 2 nên theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: Với bài toán này các em thấy không phải dạng quen thuộc và số mũ khá lớn nên cần nghĩ đến việc ứng dụng hàm số để giải, và các em thấy việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nhiều.

b) Điều kiện x ≥ 1 và ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

– Đặt:  với x > 1.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, ta có 1593491800jqghv4l5bc nên theo định lý 1 và 3, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét: – Với bài toán này nếu vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và điều kiện khá phức tạp và gây khó khăn hơn việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

– Khi dự đoán nghiệm thì thường thử với ±2; ±1; ±1/2 và 0. Đối với hàm có căn thức thì giá trị của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận giá trị là số chính phương (số khai căn ra được các số nguyên).

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1593491802hoc4f908yi

1593491805uwaevi5uv3

° Lời giải:

a) TXĐ: 15934918074sk9had16n

– Đặt 1593491809ghei2ic0qz, ta có f(x) là hàm liên tục trên D.

1593491810in0c6eacr0 1593491812ttabyt6gkr nên hàm số f(x) luôn đồng biến.

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

(Vì nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm; hay nếu x < 1 ⇒ f(x) < f(1) = 4 và pt cũng vô nghiệm).

b) TXĐ: 1593491814v41i2j1dhz

– Phương trình đã cho 15934918157zsd2aku21

– Đặt 15934918174yuml0kk1t liên tục trên D và

1593491818erwfryjsca

⇒ f(x) là hàm đồng biến trên D

– Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Xem thêm:  Nhà Văn J. D. Salinger - Tiểu sử, cuộc đời và sự nghiệp

c) TXĐ: 1593491820iphj8fudji

– Ta có: 1593491821s8rkvggidi

1593491823qnvlhl0q9p

Xét 1593491824iqprj3oh7q

, nên hàm số đồng biến trên D.

– Mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

* Nhận xét:  Với bài toán trên thì việc vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức, các phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ đều khá khó và phức tạp hơn rất nhiều việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

15934918277igh9mazri

° Lời giải:

a) Đối với bài toán cách giải sẽ không hoàn toàn giống các bài toán ở ví dụ 1 và 2. Ta để ý thấy biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung 1 mối liên hệ, ở vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 và vế phải là 2x2 + 1 = (2x2) + 1, như vậy nếu đặt 15935052938b6tihqfsq thì phương trình đã cho trở thành:

1593505294be56979n5c

Xét 1593505295m0siimcyrf là một hàm liên tục và 1593505297kuwkjakzwv

⇒ f(t) là hàm đồng biến. nên theo định lý 2 ta có:

– Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.

b) Điều kiện:  đúng ∀x.

– Để ý các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

(2x+ 4x + 5) – (x2 + x + 3) = x2 + 3x + 2. nên ta có phương trình ban đầu trở thành:

1593505302i9cpe5plyq 1593505303cna8hbqdfc

1593505305k9rfrd78vn 1593505306yvwkop0981 (*)

– Đặt u = x2 + x + 3; v = 2x2 + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

1593505308lzbmdk59g7

Xét hàm 1593505309zsbgil4skg

⇒ f(t) là hàm đồng biến.

– Mặt khác, từ (*) ta có: 1593505311z7b67832i6

1593505312kbpwv9uold 1593505313k3obysfv95

– Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = {-1;-2}.

* Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a) 3x + 4x = 5x

b) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

° Lời giải:

a) 3x + 4x = 5x (1)

– Chia 2 vế của pt (1) cho 5x ta được:

1593505315mbuqha8vd1

– Xét hàm: 1593505317gptgsr49aulà hàm nghịch biến (vì đây là hàm mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 nên là hàm nghịch biến, hoặc có thể tính f'(x) sẽ thấy hàm nghịch biến).

– Mặt khác, ta có f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.

* Nhận xét: Với bài toán này rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số để giải sẽ dễ dàng hơn.

b) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

Xem thêm:  + 699 Ảnh Mùa Xuân Tươi Đẹp Và Tràn Đầ Sức Sống

– Đặt t = 3x > 0 phương trình trở thành

1593505318hek5vm06ul

– Đối chiếu điều kiện t = -1 < 0 (loại)

– Với t = 5 – 2x ⇔ 3x = 5 – 2x ⇔ 3x + 2x – 5 = 0

Xét f(x) = 3x + 2x – 5 ⇒ f'(x) = 3x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

– Mặt khác, f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a)1593505320pgfmh1k5ly

b)1593505321syg3s6f96a

c)1593505323ouzpitl9i2

° Lời giải:

a) TXĐ: 1593505324nzhku5e2gg

– Xét hàm: 1593505326z708bizrq6 ta có:

 

⇒ f(x) là hàm số nghịch biến và f(1) = 6.

⇒ f(x) ≤ 6 = f(1) ⇔ x ≥ 1.

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 1593505329f65zoldiih

b) Điều kiện: x>0

– Đặt log7x = t ⇔ x = 7t bất phương trình đã cho trở thành:

 

1593505332hak08jtaid

Do f(t) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên BPT f(t) < f(2) ⇔ t > 2 hay log7x > 2 ⇔ x > 49.

c) TXĐ: 1593505334srzlqgaq59

– Bất phương trình tương đương:

 1593505335bnwen1teyi

1593505337o40ov9s9r2

– Xét hàm: 1593505338zw2p7z6o67

⇒ f(t) là hàm đồng biến trên khoảng [1;3]

Khi đó BPT đã cho tương đương với f(x – 1) > f(3 – x) ⇔ x – 1 > 3 – x ⇔ x>2

– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2<x≤3.

III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.

Bài 1. Giải các phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)1593505341myh9sr2luk

b)1593505342y42dgaigsa

c)1593505344ka57synsig

d)1593505345pdmcy8pbik

e)

f)

g)1593505350lrrli652pz

h)

i)1593505353etiqnb92cm

j)15935053540hyecd8rbc

Bài 2. Giải các Bất phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)

b)

c)15935053598tofs78oe2

d)

e)

Như vậy, đối với rất nhiều bài toán giải phương trình và bất phương trình mà nếu ta áp dụng giải theo các phương pháp đã biết (như phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,…) thì sẽ rất khó để giải quyết bài toán, tuy nhiên nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở lên dễ dàng hơn rất nhiều.

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã có thể rèn được kỹ năng giải toán và nhận dạng được một số bài toán giải phương trình và bất phương trình sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *