Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao – toán lớp 12

Hình học không gian luôn có nhiều dạng bài tập ‘khó nhằn’ đối với nhiều học sinh chúng ta, và các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cũng không phải ngoại lệ.

HocThuat.Vn đã giới thiệu tới các em các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian gần như liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy mà trong bài viết này, chúng ta sẽ hệ thống lại các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian OxyzCác dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

I. Sơ lược lý thuyết về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Vec tơ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 1 là vec tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 1 ⊥ (P).

– Nếu Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 1 là VTPT của (P) thì kCác dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 1 cũng là VTPT của (P).

2. Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng

– Hai vectơ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 5 không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (P).

– Nếu Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 5 là cặp VTCP của (P) thì Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 7 là VTPT của (P).

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0.

• Nếu (P) có PT: Ax + By + Cz + D = 0 thì Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 8 là một VTPT của (P).

• Phương trình mặt phẳng đi qua M(x, y, z) và có một VTPT Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 8 là: A(x – x) + B(y – y) + C(z – z) = 0;

* Lưu ý:

– Nếu trong phương trình mặt phẳng (P) không chưa ẩn nào thì (P) song song hoặc chứa trục tương ứng, ví dụ: Phương trình mp (Oyz): x = 0; mp (Oxy) là: z = 0; mp (Oxz) là: y = 0.

– Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c):   Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 10 ,(a.b.c≠0)

4. Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

– Trong không gian Oxyz cho điểm M(xM, yM, zM) và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M tới mp(P) được tính theo công thức:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 11

5. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng

– Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

◊ (P)≡(Q) ⇔ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 12

◊ (P)//(Q) ⇔ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 13

◊ (P)∩(Q) ⇔ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 14 hoặc Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 15

◊ (P)⊥(Q) ⇔ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 16

6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

– Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. Để xét vị trí giữ (P) và (S) ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tính khoảng cách d từ tâm I của (S) đến (P).

Bước 2: so sánh d với R

° Nếu d[I,(P)]>R thì (P) không cắt (S).

° Nếu d[I,(P)]=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H, khi đó H được gọi là tiếp điểm đồng thời là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và (P) được gọi là tiếp diện.

° Nếu d[I,(P)]<R thì (P) cắt (S) theo đường tròn có phương trình (C):

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 17

Bán kính (C) là: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 18, tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

7. Góc giữa 2 mặt phẳng

– Trong không gian cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Góc giữa (P) và (Q) bằng hoặc bù với 2 VTPT Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 19, Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 20. Tức là:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 21 Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 22Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 23

II. Các dạng toán Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

Dạng 1: Phương trình mặt phẳng

* Phương pháp

– Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng ⇔ A2 + B2 + C2 > 0.

– Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M.

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn chứa một đường thẳng cố định.

* Ví dụ: Cho phương trình: mx + m(m – 1)y – (m2 – 1)z – 1 = 0. (*)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (*) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm).

b) Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua.

Xem thêm:  Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình - Chuyển đề Toán 12

c) Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C.

° Tính thể tích tứ diện OABC.

° Tìm m để ΔABC nhận điểm G(1/9;1/18;1/24) làm trọng tâm.

* Lời giải:

a) Để (*) là PTMP thì: m2 + [m(m-1)]2 + [-(m2-1)]2 > 0

⇔ m2 + m2(m-1)2 + (m2-1)2 > 0

– Ta thấy: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 24 nên m2 + m2(m-1)2 + (m2-1)2 ≥ 0 ∀ m,

dấu = xảy ra khi và chỉ khi Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 25 hệ này vô nghiệm

nên: m2 + [m(m-1)]2 + [-(m2-1)]2 > 0, ∀ m

⇒ PT (*) là PT mặt phẳng với mọi giá trị của m

b) Để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Giả sử M(x; y; z) là điểm cố định của họ (Pm), khi đó Ax + By + Cz + D = 0, ∀m.

+ Bước 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, từ đó nhận được (x; y; z).

+ Bước 3: Kết luận.

– Từ PT(*) ta có: mx + m(m – 1)y – (m2 – 1)z – 1 = 0

⇔ mx + m2y – my – m2z + z – 1 = 0

⇔ (y – z)m2 + (x – y)m + z – 1 = 0

⇒ Điểm mà họ Pm đi qua không phụ thuộc vào m nên ta có:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 26

⇒ Họ Pm luôn đi qua điểm M(1;1;1).

c) Ta có ngay tọa độ các điểm A,B,C là:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 27

– Khi đó thể tích tứ diện OABC được tính theo công thức:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 28Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 29Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 30

– Điểm Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 31 là trọng tâm của ABC khi:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 32Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 33

 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP

* Phương pháp:

 ♦ Loại 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi đã biết vectơ pháp tuyến Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 34 và một điểm M(x; y; z) thuộc (P)

⇒ Phương trình (P) có dạng : A(x – x) + B(y – y ) + C(z – z) = 0 ;

– Khai triển, rút gọn rồi đưa về dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = -(Ax + By + Cz).

♦ Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm M, N, I không thẳng hàng

– Tìm vectơ pháp tuyến của (P): Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 35;

– Viết PT mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 36  như Loại 1.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) có VTPT là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37 =(5;-2;-3).

* Lời giải:

– Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37=(5;-2;-3) có phương trình:

5(x – 2) – 2(y – 5) – 3(z + 7) = 0

⇔ 5x – 2y – 3z – 21 = 0.

 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;-7) và lấy vectơ  Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 39=(1;-2;3) và Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 40 = (3;0;5) làm VTCP.

* Lời giải:

– Ta tìm VTPT của (P):

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 42 Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 43Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 44

– Mặt phẳng (P) đi qua M(2;5;-7) có vectơ pháp tuyến là  Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37=(5;-2;-3) có phương trình:

5(x – 2) – 2(y – 5) – 3(z + 7) = 0 ⇔ 5x – 2y – 3z – 21 = 0.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3).

* Lời giải:

– Ta có Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 46 = (2;1;-2); Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 47 = (-12;6;0).

– Gọi  Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 48 Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 49 =(12;24;24)=12(1;2;2).

– Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37=(1;2;2).

⇒ Phương trình của mặt phẳng (P) là:

1.(x – 2) + 2(y + 1) + 2(z – 3) = 0 ⇔ x + 2y + 2z – 6 = 0.

 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 1 điểm và song song mp(Q)

* Phương pháp:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(x; y; z) và song song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = 0

– Phương trình (P) có dạng : Ax + By + Cz + D’ = 0 (*)

– Thay toạ độ điểm M vào (*) ta tìm được D’.

 Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y – 4z – 2 = 0 và điểm A(0;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).

* Lời giải:

– Vì (Q) song song với (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

2x + 3y – 4z + D = 0.   (*)

– Điểm A thuộc (Q) nên thay toạ độ của A vào (*) ta được: 2.0 + 3.2 – 4.0 + D = 0 ⇒ D = -6.

⇒ Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là : 2x + 3y – 4z – 6 = 0.

 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm và vuông góc với mp(Q)

* Phương pháp:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (Q):

Ax + By + Cz + D = 0

Xem thêm:  Toán 12 - Hàm số, các dạng toán liên quan khảo sát hàm số

– Tìm vectơ pháp tuyến của (P):Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 51

– Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 52 như Loại 1.

 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 3y – 4z – 2 = 0 và điểm A(0;2;0).Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua OA và vuông góc với (P) với O là gốc toạ độ.

* Lời giải:

– Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong (α) là :

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 53= (0;2;0) và Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37p=(2;3;-4).

⇒ (α) có vectơ pháp tuyến Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 55=[Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 53,Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 37p] = (-8;0;-4).

⇒ Mặt phẳng (α) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 55 = (-8;0;-4) có PT:

-8x – 4z = 0 ⇔ 2x + z = 0.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-2).

* Lời giải:

– Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình (P) có dạng:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 59 ⇔ Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 60 ⇔ 6x – 2y – 3z – 6 = 0.

 Dạng 5: Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng

* Phương pháp:

– Sử dụng các kiến thức phần vị trí tương đối của 2 mặt phẳng ở trên.

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng quát sau đây :

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y – z – 9 = 0.

b) (P): x +  y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

* Lời giải:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y – z – 9 = 0.

– Gọi Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 61Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 62 là VTPT của (P) và (Q), ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 61=(1;2;3) , Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 62=(1;5;-1)

– Ta thấy: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 65, vậy (P) cắt (Q).

b) (P): x +  y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z + 6 = 0.

– Gọi Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 61Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 62 là VTPT của (P) và (Q), ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 61=(1;1;1) , Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 62=(2;2;2)

– Ta thấy: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 70 Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 71, vậy (P)//(Q).

 Ví dụ 2: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:

(P): 2x + my + 3z – 5 = 0,

(Q) : nx – 8y – 6z + 2 = 0.

* Lời giải:

– Để (P)//(Q) thì: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 72Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 73

 Dạng 6: Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

* Phương pháp

♦ Loại 1: Tính khoảng cách từ điểm M(xM, yM, zM) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 11

♦ Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Ta lấy điểm M thuộc (P) khi đó khoảng cách từ (P) tới (Q) là khoảng cách từ M tới (Q) và tính theo công thức như ở loại 1.

 Ví dụ 1. Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + 2z – 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

– Ta có: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 75Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 76

– Tương tự: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 77Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 78

 Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.

(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.

* Lời giải:

– Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d[(P),(Q)] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 79Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 80Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 81

⇒ d[(P),(Q)] = 3.

Ví dụ 3. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.

* Lời giải:

– Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :

– Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 82Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 83

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 84

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 85

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 86

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 87

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 88

⇒ Vậy điểm M(0;0 3) là điểm cần tìm.

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D’ = 0 với D ≠ D’.

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

* Lời giải:

a) Ta thấy rằng (P1) và (P2) song song với nhau, lấy điểm M(x; y; z) ∈ (P1), ta có:

Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ (Ax + By + Cz) = -D  (1)

– Khi đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) là khoảng cách từ M tới (P2):

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 89Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 90Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 91  (theo (1))

b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)

– Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) ∈ (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) ∈ (P2) đến (P) nên ta có:

Xem thêm:  Các dạng bài tập toán phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz - toán lớp 12

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 92Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 93  (3)

mà (Ax1 + By1 + Cz1) = -D ; (Ax2 + By2 + Cz2) = -D’ nên ta có:

(3) Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 94

vì E≠D, nên: Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 95

⇒ Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P):  Ax + By + Cz + ½(D+D’) = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2):

– mp(P2) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 96Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 97

b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:

– Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 98Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 99

– Cách 2: (Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 100Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 101

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 102

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 99

– Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

(P): x + 2y + 2z + D = 0.

+ Lấy các điểm Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 104 ∈ (P1) và Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 105 ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 106

+ Mặt phẳng (P) cách đều (P1) và (P2) thì (P) phải đi qua M nên ta có:

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 107

Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 108

III. Luyện tập bài tập Viết phương trình mặt phẳng

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết:

a) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2).

b) (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + 1 = 0.

c) (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 109(2; -1, 1), Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12 110(2; -1; 3).

d) (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (R1): 2x + y + 2z – 10 = 0 và (R2): 3x + 2y + z + 8 = 0.

Bài 2: Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1).

a) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho ΔMAB cân tại M.

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy.

Bài 3: Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0.

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q).

b) Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng.

Bài 4: Cho điểm M1(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình:

(P1): x + y + 2z + 3 = 0 và (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0.

1) Tìm m để (P1) song song với (P2).

2) Với m tìm được ở câu 1) hãy:

a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).

b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2).

c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2)) và d[(Q), (P1)] = 2d[(Q), (P2)].

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ΔABC.

b) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm ΔABC.

c) Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của các trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): x – 3y – 3z + 5 = 0 và (Q): (m2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì:

a) (P)//(Q)?     b) (P)≡(Q)?

c) (P) cắt (Q)?   d) (P)⊥(Q)?

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HocThuat.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *