Dựa Vào đồ Thị Biện Luận Theo M Số Nghiệm Của Phương Trình - Chuyển đề Toán 12 - Đề án 2020 - Tổng Hợp Chia Sẻ Hình ảnh, Tranh Vẽ, Biểu Mẫu Trong Lĩnh Vực Giáo Dục

Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình là dạng toán không khó để các em có thể kiếm điểm. Đây là câu hỏi thường xuất hiện ngay sau nội dung khảo sát vẽ đồ thị, vì vậy các em cần làm cẩn thận để tránh mất điểm đáng tiếc.

Bài viết này, chúng ta cùng ôn tập lại cách dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Qua đó làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này nhé các em.

* Bài toán thường có dạng:

i) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

ii) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

– Ở đây chúng ta tập trung vào nội dung chính là biện luận theo m số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (bài cho sẵn đồ thị, hoặc chúng ta đã khảo sát và vẽ đồ thị của (C)).

* Phương pháp giải

– Bước 1: Biến đổi phương trình g(x;m) = 0 về dạng:

f(x) = m; f(x) = h(m); f(x)= kx+m; f(x)=m(x-a)+b.

Trong đó k, a, b là các hằng số và h(m) là hàm số theo tham số m

– Bước 2: Khi đó vế trái là hàm f(x) có đồ thị (C) đã biết. Vế phải có thể là:

• y = m là đường thẳng luôn vuông góc với trục Oy

• y = h(m) cũng là đường thẳng vuông góc với Oy.

• y = kx + m là đường thẳng song song với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).

• y = m(x – a) + b là đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(a; b) và có hệ số góc là m. Do đó đường thẳng ấy quay quanh điểm I.

– Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) và ta sẽ biện luận theo m số nghiệm phương trình (giao điểm của đường thẳng và (C)).

* Một số bài tập minh họa biện luận theo m số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 2

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³+ 3x² – 2 – m = 0.

° Lời giải:

a) Các em có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

y’ = 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

y” = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1

– Đồ thị có điểm cực đại là (-2;2), cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1;0).

– Biểu diễn đồ thị sẽ như sau:

ví dụ 1 biện luận nghiệm pt theo m

b) Ta có: x³+ 3x² – 2 – m = 0 ⇔ x³+ 3x² – 2 = m (dạng f(x) = m). (*)

• f(x) = x³+ 3x² – 2 là đồ thị đã có ở trên, số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

– Nên từ đồ thị hàm số ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình (*) như sau:

– Với m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm

– Với m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình (*) có 3 nghiệm

– Với m = – 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với m < -2 phương trình (*) có 1 nghiệm

• Hoặc có thể viết gọn như sau:

– Với m < -2 hoặc m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm (đơn)

– Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình 2 có 3 nghiệm (đơn).

* Ví dụ 2 (Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: $small y=frac{1}{2}x^4-3x^2+frac{3}{2}$

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ – 6x² + 3 = m.

° Lời giải:

a) Khảo sát: $small y=frac{1}{2}x^4-3x^2+frac{3}{2}$

¤ TXĐ: D = R

¤ Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 2x³ – 6x = 2x(x² – 3)

f'(x) = 0 ⇔ 2x(x² – 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực: small underset{x ightarrow pm infty }{lim(y)}=+infty

+ Bảng biến thiên:

ví dụ 2 bảng biến thiên

+ Đồ thị hàm số dạng như sau:

ví dụ 2 đồ thị hàm số

b) Ta có: f”(x) = 6x² – 6 = 6(x² – 1)

f”(x) = 0 ⇔ 6(x² – 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) – 1 ⇒ y = 4x + 3

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f'(1)(x – 1) – 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có: $small x^4-6x^2+3=mLeftrightarrow frac{1}{2}x^4-3x^2+frac{3}{2}=frac{m}{2}$

• Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) ở trên ta nhận thấy:

– Với m/2 < – 3 ⇔ m < -6: Đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) ⇒ phương trình vô nghiệm.

– Với m/2 = -3 ⇔ m = -6: Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu ⇒ phương trình có 2 nghiệm.

– Với -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

– Với m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

– Với m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

– Với m < – 6 thì PT vô nghiệm.

– Với m = – 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

– Với m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

– Với – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: $small y=frac{2x^2-5x+4}{x-1}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2x² – (5 + m)x + 4 + m = 0 (*).

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

ví dụ 3 đồ thị hàm số

b) Ta có: 2x² – (5 + m)x + 4 + m = 0

⇔ $small 2x^2-5x+4=m(x-1)Leftrightarrow m=frac{2x^2-5x+4}{x-1}$ (**)

• Ta thấy (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m chạy song song trục Ox. Từ đồ thị ta có:

(Lưu ý: $small y_{cd}=-1-2sqrt{2};y_{ct}=-1+2sqrt{2}$ )

– Với small m<-1-2sqrt{2} hoặc small m<-1+2sqrt{2} : PT (**) có 2 nghiệm

– Với small m=-1-2sqrt{2} hoặc small m=-1+2sqrt{2} : PT (**) có 1 nghiệm

– Với small -1-2sqrt{2}<m<m=-1+2sqrt{2} : PT (**) vô nghiệm.

* Ví dụ 4: Cho hàm số (C): $small y=frac{x+1}{x-1}$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x² – (m+1)x + m + 1 = 0.

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

ví dụ 4 đồ thị hàm số

b) Tiếp tuyến song song với (d): y = -2x nên có hệ số góc y’ = -2.

mà $small y'=frac{-2}{(x-1)^2}Rightarrow frac{-2}{(x-1)^2}=-2Leftrightarrow left [egin{matrix} x=0Rightarrow y=-1 x=2Rightarrow y=3 end{matrix} ight.$

– Vậy có 2 tiếp tuyến:

Tiếp tuyến (T₁) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x – 1.

Tiếp tuyến (T₂) đi qua điểm (2;3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: small 2x^2-(m+1)x+m+1=0Leftrightarrow 2x^2-x+1=m(x-1)

$small Leftrightarrow frac{2x^2-2x}{x-1}+frac{x+1}{x-1}=m$ $small Leftrightarrow 2x+frac{x+1}{x-1}=mLeftrightarrow frac{x+1}{x-1}=-2x+m$ (*)

• Ta thấy (*) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d₁): y = -2x + m. (d₁ là đường thẳng song song với 2 tiếp tuyến ở câu b). Như vậy, ta có kết luận sau:

– Với -1 < m < 7: PT(*) vô nghiệm

– Với m = -1 hoặc m = 7: PT (*) có 1 nghiệm

– Với m < -1 hoặc m > 7: PT (*) có 2 nghiệm

* Ví dụ 5: Cho hàm số (C) sau: $small y=f(x)=frac{x^2-x+2}{x-1}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm a để phương trình: $small frac{x^2-x+2}{x-1}=ax-a+1$ có nghiệm.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: $small frac{x^2-left |x ight |+2}{left |x ight |-1}=log_2m$

° Lời giải:

a) Các em tự khảo sát chi tiết và vẽ đồ thị

$small f'(x)=frac{x^2-x-1}{(x-1)^2}=0Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1-sqrt{2} x=1+sqrt{2} end{matrix} ight.$ $small Rightarrow left{egin{matrix} y_{1}=f(1-sqrt{2})=1-2sqrt{2} y_{2}=f(1+sqrt{2})=1+2sqrt{2} end{matrix} ight.$

$small f(x)=x+frac{2}{x-1}$ ⇒ TCĐ: x = 1; TCX: y = x.

– Đồ thị dạng như sau:

ví dụ 5 đồ thị hàm số

b) Nghiệm của PT: $small frac{x^2-x+2}{x-1}=ax-a+1$ (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax – a + 1.

– Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên để pt (*) có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

⇒ Để pt (*) có nghiệm thì: 1 < a < +∞.

(Đồ thị minh họa đường y = 2x – 1 tương ứng với a = 2 của đường thẳng y = ax – a + 1).

c) Do $small y=f(left |x ight |)= frac{x^2-left |x ight |+2}{left |x ight |-1}$ là hàm chẵn (vì f(x) = f(-x)). nên đồ thị (C’) của y = f(|x|) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C): y = f(x) theo quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 5 đồ thị hàm số chẵn

– Như vậy nghiệm của pt f(|x|) = log₂m (m>0) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = log₂m và đồ thị (C’). Từ đồ thị ta có:

– Nếu log₂m < -2 ⇔ 0 < m < 1/4 thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log₂m = -2 ⇔ m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

– Nếu -2 < log₂m < 1 + 2√2 ⇔ $small frac{1}{4}<m<2^{1+2sqrt{2}}$ thì pt vô nghiệm

– Nếu log₂m = 1 + 2√2 ⇔ $small m=2^{1+2sqrt{2}}$ thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log₂m > 1 + 2√2 ⇔ $small m>2^{1+2sqrt{2}}$ thì pt có 4 nghiệm

* Một dạng biến thể khác của bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình đó là. Tìm m để pt có bao nhiêu nghiệm như ví dụ sau.

* Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = 4x³ – 3x – 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m để để 4|x|³ – 3|x| – mx + m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

° Lời giải:

a) Các em tự làm chi tiết:

f'(x) = 12x² – 3 = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = -1/2

f”(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

– Đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số

b) Có: small 4|x|^3 - 3|x| - mx + m - 1 = 0 small Leftrightarrow 4|x|^3 - 3|x| - 1=m(x-1)(*)

• Đồ thị (C’): small y=f(left |x ight |)=4|x|^3 - 3|x| - 1 là hàm chẵn (tức f(-x) = f(x)) nên đối xứng qua trục Oy. Đồ thị (C’) được vẽ từ (C) với quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số chẵn

• Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d_m): y = m(x-1) với (C’).

– Ta thấy (d_m) luôn đi qua điểm A(1,0) ∈ (C’) từ đồ thị ta thấy để (*) có 4 nghiệm thì đường thẳng (d_m) (màu đỏ cam hình trên) phải nằm giữa 2 đường (d₁) và (d₂) (minh họa đường màu tím).

– Phương trình đường thẳng (d₁) qua điểm (1;0) và (0;-1) có pt: y = x – 1 (có hệ số góc k₁ = 1).

– Phương trình đường thẳng (d₂) qua điểm (1;0) có hệ số góc k₂ có pt dạng: y = k₂(x – 1) và tiếp xúc với (C’) tại điểm có hoành độ x₀ < 0, nên ta có:

$small left{egin{matrix} -4x^3+3x-1=k_2(x-1) 3(1-4x^2)=k_2 end{matrix} ight.$ small Rightarrow -4x^3+3x-1=3(1-4x^2)(x-1)

small Leftrightarrow x(1-4x^2)+2x-1=3(1-4x^2)(x-1)

small Leftrightarrow (1-4x^2)[x -3(x-1)]+2x-1=0

small Leftrightarrow (1-2x)(1+2x)(-2x+3)+2x-1=0

small Leftrightarrow (2x-1)left [(1+2x)(2x-3)+1 ight ]=0

small Leftrightarrow 2(2x-1)(2x^2-2x-1)=0

– Do x₀ < 0 nên $small x_{0}=frac{1-sqrt{3}}{2}Rightarrow k_2=6sqrt{3}-9$

– Từ đồ thị (C’) ta thấy để pt có 4 nghiệm thì (d_m): y =m(x-1) phải cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi k₁ < m < k₂ small Leftrightarrow 1<m<6sqrt{3}-9

Hy vọng với một số ví dụ về cách giải bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình (sự tương giao của các các đồ thị) ở trên giúp các em hiểu rõ hơn nội dung này. Đây là nội dung rất dễ kiếm điểm và cũng thường hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy mà các em cần ghi nhớ.

Xem thêm: