Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình – Chuyển đề Toán 12

Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình là dạng toán không khó để các em có thể kiếm điểm. Đây là câu hỏi thường xuất hiện ngay sau nội dung khảo sát vẽ đồ thị, vì vậy các em cần làm cẩn thận để tránh mất điểm đáng tiếc.

Bài viết này, chúng ta cùng ôn tập lại cách dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Qua đó làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này nhé các em.

* Bài toán thường có dạng:

i) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

ii) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

– Ở đây chúng ta tập trung vào nội dung chính là biện luận theo m số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (bài cho sẵn đồ thị, hoặc chúng ta đã khảo sát và vẽ đồ thị của (C)).

* Phương pháp giải

– Bước 1: Biến đổi phương trình g(x;m) = 0 về dạng:

f(x) = m; f(x) = h(m); f(x)= kx+m; f(x)=m(x-a)+b.

Trong đó k, a, b là các hằng số và h(m) là hàm số theo tham số m

– Bước 2: Khi đó vế trái là hàm f(x) có đồ thị (C) đã biết. Vế phải có thể là:

• y = m là đường thẳng luôn vuông góc với trục Oy

• y = h(m) cũng là đường thẳng vuông góc với Oy.

• y = kx + m là đường thẳng song song với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).

• y = m(x – a) + b là đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(a; b) và có hệ số góc là m. Do đó đường thẳng ấy quay quanh điểm I.

– Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) và ta sẽ biện luận theo m số nghiệm phương trình (giao điểm của đường thẳng và (C)).

* Một số bài tập minh họa biện luận theo m số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

* Ví dụ 1: Cho hàm số  y = x3 + 3x2 – 2

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình x+ 3x2 – 2 – m = 0.

° Lời giải:

a) Các em có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

y” = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1

– Đồ thị có điểm cực đại là (-2;2), cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1;0).

– Biểu diễn đồ thị sẽ như sau:

ví dụ 1 biện luận nghiệm pt theo m

b) Ta có: x+ 3x2 – 2 – m = 0 ⇔ x+ 3x2 – 2 = m (dạng f(x) = m). (*)

• f(x) = x+ 3x2 – 2 là đồ thị đã có ở trên, số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

– Nên từ đồ thị hàm số ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình (*) như sau:

Xem thêm:  Trà Xanh là gì ? Hải Tú có liên quan gì đến Nickname Trà Xanh ?

– Với m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm

– Với m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình (*) có 3 nghiệm

– Với m = – 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với m < -2 phương trình (*) có 1 nghiệm

• Hoặc có thể viết gọn như sau:

– Với m < -2 hoặc m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm (đơn)

– Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

– Với -2 < m < 2 phương trình 2 có 3 nghiệm (đơn).

* Ví dụ 2 (Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.

° Lời giải:

a) Khảo sát: 

¤ TXĐ: D = R

¤ Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 2x3 – 6x = 2x(x2 – 3)

f'(x) = 0 ⇔ 2x(x2 – 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực: 1593663443tf46un834g 1600823729

+ Bảng biến thiên:

ví dụ 2 bảng biến thiên

+ Đồ thị hàm số dạng như sau:

ví dụ 2 đồ thị hàm số

b) Ta có: f”(x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1)

f”(x) = 0 ⇔ 6(x2 – 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) – 1 ⇒ y = 4x + 3

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f'(1)(x – 1) – 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có:

• Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) ở trên ta nhận thấy:

– Với  m/2 < – 3 ⇔ m < -6: Đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) ⇒ phương trình vô nghiệm.

– Với m/2 = -3 ⇔ m = -6: Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu ⇒ phương trình có 2 nghiệm.

– Với -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

– Với m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

– Với m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

– Với m < – 6 thì PT vô nghiệm.

– Với m = – 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

– Với m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

– Với – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: 1593663446knha0e84qk 1600823730

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2x2 – (5 + m)x + 4 + m = 0 (*).

Xem thêm:  Phép Quay - Toán 11

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

ví dụ 3 đồ thị hàm số

b) Ta có: 2x2 – (5 + m)x + 4 + m = 0

⇔  (**)

• Ta thấy (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m chạy song song trục Ox. Từ đồ thị ta có:

(Lưu ý: )

– Với 1593663451b4lyuwk8l1 1600823731 hoặc 1593663453dmmhw9r6oo 1600823731: PT (**) có 2 nghiệm

– Với  hoặc 1593663456j87n7kzlgy 1600823732: PT (**) có 1 nghiệm

– Với : PT (**) vô nghiệm.

* Ví dụ 4: Cho hàm số (C):1593663459l3lso785z9 1600823732

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x2 – (m+1)x + m + 1 = 0.

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

ví dụ 4 đồ thị hàm số

b) Tiếp tuyến song song với (d): y = -2x nên có hệ số góc y’ = -2.

mà 15936634615lzw5h2ec0 1600823733

– Vậy có 2 tiếp tuyến:

Tiếp tuyến (T1) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x – 1.

Tiếp tuyến (T2) đi qua điểm (2;3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: 1593663462a22nrg3zrr 1600823733

1593663464dacuz7yggc 1600823733 1593663465rd3o33dypj 1600823733(*)

• Ta thấy (*) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d1): y = -2x + m. (d1 là đường thẳng song song với 2 tiếp tuyến ở câu b). Như vậy, ta có kết luận sau:

– Với -1 < m < 7: PT(*) vô nghiệm

– Với m = -1 hoặc m = 7: PT (*) có 1 nghiệm

– Với m < -1 hoặc m > 7: PT (*) có 2 nghiệm

* Ví dụ 5: Cho hàm số (C) sau: 1593678025w85wc71ciu 1600823733

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm a để phương trình: 1593678027vsw1ouednz 1600823734 có nghiệm.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1593678028t2fglpu6do 1600823734

° Lời giải:

a) Các em tự khảo sát chi tiết và vẽ đồ thị

1593678030tloowi4vg5 1600823734 1593678031v69pjhoeaz 1600823734

15936780336097ec9dk1 1600823735 ⇒ TCĐ: x = 1; TCX: y = x.

– Đồ thị dạng như sau:

ví dụ 5 đồ thị hàm số

b) Nghiệm của PT: 1593678027vsw1ouednz 1600823734 (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax – a + 1.

– Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên để pt (*) có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

⇒ Để pt (*) có nghiệm thì: 1 < a < +∞.

(Đồ thị minh họa đường y = 2x – 1 tương ứng với a = 2 của đường thẳng y = ax – a + 1).

c) Do 1593678036gy60dag2fu 1600823735 là hàm chẵn (vì f(x) = f(-x)). nên đồ thị (C’) của y = f(|x|) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C): y = f(x) theo quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

Xem thêm:  Lựa chọn học ngành gì để trở thành trader tài chính giỏi - lời khuyên từ các trader thành công

ví dụ 5 đồ thị hàm số chẵn

– Như vậy nghiệm của pt f(|x|) = log2m (m>0) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = log2m và đồ thị (C’). Từ đồ thị ta có:

– Nếu log2m < -2 ⇔ 0 < m < 1/4 thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log2m = -2 ⇔ m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

– Nếu -2 < log2m < 1 + 2√2 ⇔ 1593678038le8vpuyjhc 1600823736 thì pt vô nghiệm

– Nếu log2m = 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 2 nghiệm

– Nếu log2m > 1 + 2√2 ⇔  thì pt có 4 nghiệm

* Một dạng biến thể khác của bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình đó là. Tìm m để pt có bao nhiêu nghiệm như ví dụ sau.

* Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = 4x3 – 3x – 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m để để 4|x|3 – 3|x| – mx + m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

° Lời giải:

a) Các em tự làm chi tiết:

f'(x) = 12x2 – 3 = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = -1/2

f”(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

– Đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số

b) Có:  1593678049ma4proc1gc 1600823737

• Đồ thị (C’): 1593678051us0g8hjrqh 1600823737 là hàm chẵn (tức f(-x) = f(x)) nên đối xứng qua trục Oy. Đồ thị (C’) được vẽ từ (C) với quy tắc:

– Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

ví dụ 6 đồ thị hàm số chẵn

• Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm): y = m(x-1) với (C’).

– Ta thấy (dm) luôn đi qua điểm A(1,0) ∈ (C’) từ đồ thị ta thấy để (*) có 4 nghiệm thì đường thẳng (dm) (màu đỏ cam hình trên) phải nằm giữa 2 đường (d1) và (d2) (minh họa đường màu tím).

– Phương trình đường thẳng (d1) qua điểm (1;0) và (0;-1) có pt: y = x – 1 (có hệ số góc k1 = 1).

– Phương trình đường thẳng (d2) qua điểm (1;0) có hệ số góc k2 có pt dạng: y = k2(x – 1) và tiếp xúc với (C’) tại điểm có hoành độ x < 0, nên ta có:

 1593678055yf9kmmilrs 1600823738

1593678058r2nhp3ntg2 1600823738

1593678059vd4bybgubq 1600823739

15936780618ddt45281o 1600823739

1593678062nd81sfp19n 1600823739

– Do x < 0 nên 1593678064425enjp5r3 1600823739

– Từ đồ thị (C’) ta thấy để pt có 4 nghiệm thì (dm): y =m(x-1) phải cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi k1 < m < k2 

Hy vọng với một số ví dụ về cách giải bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình (sự tương giao của các các đồ thị) ở trên giúp các em hiểu rõ hơn nội dung này. Đây là nội dung rất dễ kiếm điểm và cũng thường hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy mà các em cần ghi nhớ.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.