Dấu Của Tam Thức Bậc Hai – Toán 10

Để học tốt Đại 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Dấu Của Tam Thức Bậc Hai – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng

f(x) = ax2 + bx + c,

trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây

Định lý

Cho f(x) = ax2 + bx + c     (a ≠ 0), Δ = b2 – 4ac.

Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.

Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 33.

Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).

Chú ý

Trong định lí trên, có thể thay biệt thức Δ = b2 – 4ac bằng biệt thức thu gọn Δ’ = (b’)2 – ac

Minh họa hình học

Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 34

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0 , ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0.

2. Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Truyện An Dương Vương và Mị Châu - Trọng Thủy - Truyền thuyết

III. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 105 SGK Đại Số 10):

Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 – 3x + 1 ;      b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36 ;      d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải

a) Tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 35

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) Tam thức f(x) = x2 + 12x + 36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 36

Vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x2 + 7x – 15

Tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 37

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10):

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(-8x2 + x – 3)(2x + 9)

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 38

Lời giải

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

+ Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

+ Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 39

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ {1/3; 5/4; 3}

Xem thêm:  Số Trung Bình Cộng. Số Trung Vị. Mốt - Toán 10

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

+ Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

Do đó 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 40

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {–1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

+ Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

Do đó 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

+ Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –95 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu –.

+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 41

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

f(x) = 0 khi x ∈ {–9/2; –1/2; 1/2}

f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 42

+ Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

+ Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

Do đó 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

+ Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

Do đó 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

Ta có bảng xét dấu:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 43

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chữ Người Tử Tù - Nguyễn Tuân

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {±√3; 0; 1/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

Bài 3 (trang 105 SGK Đại Số 10):

Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 – x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 44

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Lời giải

a) 4x2 – x + 1 < 0

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x2 – x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Cách 2:

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 45

với ∀x ∈ R.

Vậy bất phương trình 4x2 – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

Do đó f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]

c) Điều kiện xác định

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 46

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

+ Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

Do đó x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

+ Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1

mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

Ta có bảng biến thiên

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 47

Dựa vào BBT ta thấy

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - Toán 10 48

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

Do đó f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]

Trên đây là nội dung liên quan đến Dấu Của Tam Thức Bậc Hai – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *