Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10

Để học tốt Hình Học 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Hình Học 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 1 và giá của song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x, y) và có VTCP Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 = (a; b)

=> phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 2

Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 = (a; b)

thì có hệ số góc k = Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 3

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 4  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Nhận xét.

+) Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 5

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x, y) và có VTPT Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 6 = (A; B)

=> phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng

A(x – x) + B(y – y) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax – By.

Nhận xét.

+) Nếu đường thẳng ∆ có VTPT Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 6 = (A; B) thì có hệ số góc k = Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 7

+) Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 8

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; 0) và N(0; b0).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

Xem thêm:  Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian - Toán 12

1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 9

+) Nếu hệ có một nghiệm (x; y) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(x, y).

+) Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆1 trùng với ∆2.

+) Nếu hệ vô nghiệm thì ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2

Cách 2. Xét tỉ số

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 10

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

1: a1x + b1y + c1 = 0 có VTPT Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 12 = (a1; b1);

2: a2x + b2y + c2 = 0 có VTPT Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 11 = (a2; b2);

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2

Khi đó

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 13

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M(x, y) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 14

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 15

II. Phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2

2. Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

trong đó c = a2 + b2 – R2.

+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 16

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm Mo(xo; yo).

Ta có

+) Mo(xo; yo) thuộc Δ.

+)Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 17 = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là

(xo – a).(x – xo) + (yo – b).(y – yo) = 0.

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 18

Phương trình đường elip

1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a không đổi và a > c > 0) là một đường Elip.

+) F1, F2 là hai tiêu điểm.

+) F1F2 = 2c là tiêu cự của Elip

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 19

2. Phương trình chính tắc của Elip

(E): Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 20 = 1 với a2 = b2 + c2

Do đó điểm M(xo; yo) ∈ (E) <=> Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 21 = 1 và |xo| ≤ a, |yo| ≤ b.

Xem thêm:  Phép Đồng Dạng - Toán 11

3. Tính chất và hình dạng của Elip

+) Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).

+) Tâm đối xứng O.

+) Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).

+) Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.

+) Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).

+) Tiêu cự 2c.

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tham số của đường thằng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vec tơ chỉ phương Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 22 ;

b) d đi qua điểm M(–2; 3) và có vec tơ pháp tuyến Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 23 .

Lời giải

a) Phương trình tham số của d là:

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 24

b) d nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 25 là 1 vec tơ pháp tuyến

⇒ d nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 26 là 1 vec tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 27

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3;

b) Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5).

Lời giải

a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:

y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.

b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 28

Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)

⇒ Δ nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 29 là một vtcp

⇒ Δ nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 30 là một vtpt.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0

Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).

a, Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.

Lời giải

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 31

+ Lập phương trình đường thẳng AB:

Đường thẳng AB nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 32 là 1 vtcp ⇒ AB nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 33 là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AB

⇒ PT đường thẳng AB: 5(x- 1) + 2(y – 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng BC:

Đường thẳng BC nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 34 là 1 vtcp ⇒ BC nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 35 là 1 vtpt

Mà B(3; –1) thuộc BC

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x – 3) – 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng CA:

Đường thẳng CA nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 36 là 1 vtcp ⇒ CA nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 37 là 1 vtpt

Mà C(6; 2) thuộc CA

⇒ Phương trình đường thẳng AC: 2(x – 6) + 5(y – 2) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

b) + AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Cha Con Nghĩa Nặng - Hồ Biểu Chánh

⇒ Đường thẳng AH nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 38 là 1 vec tơ pháp tuyến

Mà A(1; 4) thuộc AH

⇒ Phương trình đường thẳng AH: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

+ Trung điểm M của BC có tọa độ Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 39 hay Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 40

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 41

Đường thẳng AM nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 42 là 1 vtcp

⇒ AM nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 43 là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AM

⇒ Phương trình đường thẳng AM: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 10):

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1).

Lời giải

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 44

Đường thẳng MN nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 45 là 1 vtcp

⇒ MN nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 46 là 1 vtpt

Mà M(4; 0) thuộc đường thẳng MN

⇒ Phương trình đường thẳng MN: 1(x – 4) – 4(y – 0) = 0 hay x – 4y – 4 = 0.

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10):

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 47

Lời giải

Cách 1: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:

a) Xét hệ phương trình

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 48

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d1) cắt (d2).

b) Xét hệ phương trình

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 49

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.

c) Xét hệ phương trình

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 50

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.

Cách 2: Dựa vào vị trí tương đối của các vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến).

a) d1 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 52 là một vectơ pháp tuyến

d2 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 53 là 1 vtpt

Nhận thấy Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 54 không cùng phương nên d1 cắt d2.

b) d1 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 55 là 1 vtpt ⇒ d1 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 56 là 1 vtcp

d2 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 57 là 1 vtcp.

Nhận thấy Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 58 cùng phương

⇒ d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm M(5;3) có:

M(5; 3) ∈ d2

12.5 – 6.3 + 10 = 52 ≠ 0 nên M(5; 3) ∉ d1.

Vậy d1 và d2 song song.

c) d1 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 59 là 1 vtpt ⇒ d1 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 60 là 1 vtcp.

d2 nhận Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 61 là 1 vtcp.

Nhận thấy Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 62 cùng phương

⇒ d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Xét M(–6; 6) ∈ d2; M(–6; 6) ∈ d1 (Vì 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0)

⇒ d1 và d2 trùng nhau.

Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10):

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1: 4x – 2y + 6 = 0 và d2: x – 3y + 1 = 0

Lời giải

Với d1: 4x – 2y + 6 = 0 có vecto pháp tuyến là: n1→(4;-2)

và d2: x – 3y + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là: n2→(1;-3) ; ta có :

Pasted into Phuong Trinh Duong Thang Toan 10 1 63

Trên đây là nội dung liên quan đến Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *