Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10

Để học tốt Hình Học 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Hình Học 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 133 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 134 và giá của song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x, y) và có VTCP Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 135 = (a; b)

=> phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 136

Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 137 = (a; b)

thì có hệ số góc k = Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 138

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 139  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Nhận xét.

+) Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 140

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x, y) và có VTPT Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 141 = (A; B)

=> phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng

A(x – x) + B(y – y) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax – By.

Nhận xét.

+) Nếu đường thẳng ∆ có VTPT Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 142 = (A; B) thì có hệ số góc k = Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 143

+) Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 144

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; 0) và N(0; b0).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 145

+) Nếu hệ có một nghiệm (x; y) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(x, y).

+) Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆1 trùng với ∆2.

+) Nếu hệ vô nghiệm thì ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2

Cách 2. Xét tỉ số

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 146

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

1: a1x + b1y + c1 = 0 có VTPT Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 147 = (a1; b1);

Xem thêm:  Công thức tính chu vi hình vuông, diện tích hình vuông đầy đủ nhất

2: a2x + b2y + c2 = 0 có VTPT Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 148 = (a2; b2);

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2

Khi đó

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 149

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M(x, y) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 150

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 151

II. Phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2

2. Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

trong đó c = a2 + b2 – R2.

+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 152

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm Mo(xo; yo).

Ta có

+) Mo(xo; yo) thuộc Δ.

+)Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 153 = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là

(xo – a).(x – xo) + (yo – b).(y – yo) = 0.

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 154

Phương trình đường elip

1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a không đổi và a > c > 0) là một đường Elip.

+) F1, F2 là hai tiêu điểm.

+) F1F2 = 2c là tiêu cự của Elip

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 155

2. Phương trình chính tắc của Elip

(E): Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 156 = 1 với a2 = b2 + c2

Do đó điểm M(xo; yo) ∈ (E) <=> Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 157 = 1 và |xo| ≤ a, |yo| ≤ b.

3. Tính chất và hình dạng của Elip

+) Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).

+) Tâm đối xứng O.

+) Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).

+) Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.

+) Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).

+) Tiêu cự 2c.

Xem thêm:  Bảng cửu chương Nhân - Chia cho Bé chuẩn nhất

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tham số của đường thằng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vec tơ chỉ phương Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 158 ;

b) d đi qua điểm M(–2; 3) và có vec tơ pháp tuyến Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 159 .

Lời giải

a) Phương trình tham số của d là:

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 160

b) d nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 161 là 1 vec tơ pháp tuyến

⇒ d nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 162 là 1 vec tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 163

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10):

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3;

b) Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5).

Lời giải

a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:

y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.

b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 164

Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)

⇒ Δ nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 165 là một vtcp

⇒ Δ nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 166 là một vtpt.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0

Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).

a, Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.

Lời giải

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 167

+ Lập phương trình đường thẳng AB:

Đường thẳng AB nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 168 là 1 vtcp ⇒ AB nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 169 là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AB

⇒ PT đường thẳng AB: 5(x- 1) + 2(y – 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng BC:

Đường thẳng BC nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 170 là 1 vtcp ⇒ BC nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 171 là 1 vtpt

Mà B(3; –1) thuộc BC

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x – 3) – 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng CA:

Đường thẳng CA nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 172 là 1 vtcp ⇒ CA nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 173 là 1 vtpt

Mà C(6; 2) thuộc CA

⇒ Phương trình đường thẳng AC: 2(x – 6) + 5(y – 2) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

b) + AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC

⇒ Đường thẳng AH nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 174 là 1 vec tơ pháp tuyến

Mà A(1; 4) thuộc AH

⇒ Phương trình đường thẳng AH: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

+ Trung điểm M của BC có tọa độ Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 175 hay Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 176

Xem thêm:  Bảng chữ cái Tiếng Thái và Cách phát âm tiếng Thái chuẩn

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 177

Đường thẳng AM nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 178 là 1 vtcp

⇒ AM nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 179 là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AM

⇒ Phương trình đường thẳng AM: 1(x – 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 10):

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1).

Lời giải

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 180

Đường thẳng MN nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 181 là 1 vtcp

⇒ MN nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 182 là 1 vtpt

Mà M(4; 0) thuộc đường thẳng MN

⇒ Phương trình đường thẳng MN: 1(x – 4) – 4(y – 0) = 0 hay x – 4y – 4 = 0.

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10):

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 183

Lời giải

Cách 1: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:

a) Xét hệ phương trình

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 184

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d1) cắt (d2).

b) Xét hệ phương trình

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 185

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.

c) Xét hệ phương trình

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 186

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.

Cách 2: Dựa vào vị trí tương đối của các vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến).

a) d1 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 187 là một vectơ pháp tuyến

d2 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 188 là 1 vtpt

Nhận thấy Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 189 không cùng phương nên d1 cắt d2.

b) d1 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 190 là 1 vtpt ⇒ d1 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 191 là 1 vtcp

d2 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 192 là 1 vtcp.

Nhận thấy Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 193 cùng phương

⇒ d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm M(5;3) có:

M(5; 3) ∈ d2

12.5 – 6.3 + 10 = 52 ≠ 0 nên M(5; 3) ∉ d1.

Vậy d1 và d2 song song.

c) d1 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 194 là 1 vtpt ⇒ d1 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 195 là 1 vtcp.

d2 nhận Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 196 là 1 vtcp.

Nhận thấy Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 197 cùng phương

⇒ d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Xét M(–6; 6) ∈ d2; M(–6; 6) ∈ d1 (Vì 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0)

⇒ d1 và d2 trùng nhau.

Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10):

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1: 4x – 2y + 6 = 0 và d2: x – 3y + 1 = 0

Lời giải

Với d1: 4x – 2y + 6 = 0 có vecto pháp tuyến là: n1→(4;-2)

và d2: x – 3y + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là: n2→(1;-3) ; ta có :

Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 198

Trên đây là nội dung liên quan đến Phương Trình Đường Thẳng – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *