Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

– Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) .

– Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K .

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

* Chú ý.

– Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f'(x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a; b].

Xem thêm:  Vectơ Trong không gian - Toán 11

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x).

Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên.

Bước 5. Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước.

Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:

– Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

– Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Chú ý.

Riêng hàm sốPasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12

thì :

– Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y’ < 0, ∀ x ∈ (a; b)

– Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y’ > 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Một số kiến thức liên quan

Cho tam thức g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 1

* Chú ý.

Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b):

– Bước 1. Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0), ∀x ∈(a; b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀x ∈ (a; b).

– Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a; b).

Xem thêm:  Công thức tính chu vi hình vuông, diện tích hình vuông đầy đủ nhất

– Bước 3. Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12):

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2

b) Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 2

c) y = x4 – 2x2 + 3

d) y = -x3 + x2 – 5

Lời giải:

a) Tập xác định : D = R

y’ = 3 – 2x

y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 3

Ta có bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 4

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2 ; + ∞).

b) Tập xác định : D = R

y’ = x2 + 6x – 7

y’ = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

Ta có bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 5

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞); nghịch biến trong khoảng (-7; 1).

c) Tập xác định: D = R

y’= 4x3 – 4x.

y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 6

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 7

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).

d) Tập xác định: D = R

y’= -3x2 + 2x

y’ = 0 ⇔ -3x2 + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0 ⇔ Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 8

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 9

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3).

Bài 2 (trang 10 SGK Giải tích 12):

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 10

Lời giải:

a) Tập xác định: D = R \ {1}

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 11

y’ không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 12

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

b) Tập xác định: D = R \ {1}

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 13

y’ < 0 với ∀ x ∈ D (vì –x2 + 2x – 2 < 0).

y’ không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 14

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 15

y’ không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 16

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -4); đồng biến trong khoảng (5; +∞).

d) Tập xác định: D = R \ {±3}

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 17

Vì x2 ≥ 0 ∀ x ⇒ x2 + 9 > 0 ∀ x ⇔ -2(x2 + 9) < 0

Xem thêm:  Hướng dẫn công thức chu vi diện tích hình bình hành chi tiết nhất

Mà (x2-9)2 > 0 ∀ x ∈ D

Suy ra: y’ < 0 với ∀ x ∈ D.

y’ không xác định tại x = ±3

Bảng biến thiên:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 18

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) và (3; +∞ ).

Bài 3 (trang 10 SGK Giải tích 12):

Chứng minh rằng hàm số Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 19 đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Lời giải:

TXĐ: D = R

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 20

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 – x2 < 0

⇔ x2 > 1

⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 1 – x2 > 0

⇔ x2 < 1

⇔ x ∈ (-1; 1).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Bài 4 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 21 đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

TXĐ: D = [0; 2]

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 22

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 0 < x < 1.

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 < x < 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12):

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 23

Lời giải:

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: y’ = Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 24 > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0

hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x – Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 25 trên Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 26

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 27

Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 28

⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 28

⇒ y = g'(x) đồng biến trên Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 28

⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 28

Pasted into Su Dong Bien Nghich Bien Cua Ham So Toan 12 1 29

Trên đây là nội dung liên quan đến Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *