Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Cực trị hàm số

1. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm xo ∈ (a; b) .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo .

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xo – h; xo + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {xo}, với h > 0 .

– Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) < 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x).

– Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) > 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12

* Chú ý.

– Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f(fCT) , còn điểm M(xo; f(xo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

– Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

Xem thêm:  Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn - Toán 10

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

– Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

– Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3;…) là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi).

Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Ta có y’= 3ax2 + 2bx + c

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 – 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 1.

– Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 2

Hoặc sử dụng công thức Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 3.

– Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 4

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 5

(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 6.

Khi đó ba điểm cực trị là: Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 7 với Δ = b2 – 4ac

Độ dài các đoạn thẳng: Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 8.

Các kết quả cần ghi nhớ:

– ΔABC vuông cân ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 9

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 10

– Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 11

– Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 12

C. Kĩ năng sử dụng máy tính

Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 – x + 2

Hướng dẫn:

Bấm máy tính: MODE 2

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 13

Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + m2x + m

Hướng dẫn:

Bấm máy tính: MODE 2

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 14

Ta có:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 15

Vậy đường thẳng cần tìm:

Xem thêm:  Khoảng Cách - Toán 11

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 16

II. GIẢI BÀI TẬP SGK

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 17

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y’ = 6x2 + 6x – 36

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 18

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ: D = R

y’= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0;

y’ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 19

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R \ {0}

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 20

y’ = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 21

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) TXĐ: D = R

y’= (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3x2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 – 2x3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 22

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 23

hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 24

Bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 25

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x5 – x3 – 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

+ y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

+ y” = 12x2 – 4

y”(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y”(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y’ = 2cos2x – 1;

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 26

+ y” = -4.sin2x

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 27

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 28 (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 29

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 30 (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 31

+ y’’ = -sin x – cos x = Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 32

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 33

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 34 là các điểm cực đại của hàm số.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 35

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 36 là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) TXĐ: D = R

+ y’= 5x4 – 3x2 – 2

y’ = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Đất nước - Nguyễn Đình Thi

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 37

⇔ x = ±1.

+ y” = 20x3 – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

+ Chứng minh hàm số Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 38 không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 39  :

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 40

⇒ Không tồn tại giới hạn Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 41

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với ∀ x ∈ (-1 ; 1) và x ≠ 0

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3 – mx2 – 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y’ = 3x2 – 2mx – 2

y’ = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0 ⇔ Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 42

+ y’’ = 6x – 2m.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 43

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 44 là một điểm cực đại của hàm số.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 45

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 46 là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Tìm a và b để các cực trị của hàm số

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 47

đều là nhưng số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

+ y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a2x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 48

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 49

Các cực trị của hàm số đều dương

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 53

Các cực trị của hàm số đều dương

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 52

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12):

Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 54 đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 55

Ta có bảng biến thiên:

Pasted into Cuc Tri Cua Ham So Toan 12 1 56

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Trên đây là nội dung liên quan đến Cực Trị Của Hàm Số – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *