Hàm Số Liên Tục – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hàm Số Liên Tục – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x nếu Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 1

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 2

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 3

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

Xem thêm:  Phương Trình Đường Tròn - Toán 10

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x;

b) Hàm số Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 4 liên tục tại x nếu g(x) ≠ 0.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0..

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm

IV. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11):

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+2x-1 tại x=3.

Lời giải:

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 5

Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):

a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x = 2, biết :

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 6

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x=2.

Lời giải:

a) Ta có: g(2) = 5.

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 7

⇒ g(x) không liên tục tại x = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x = 2

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 8

Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.

Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):

Cho hàm số

Xem thêm:  Số Trung Bình Cộng. Số Trung Vị. Mốt - Toán 10

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 9

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số (hình bên).

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 10

Quan sát đồ thị nhận thấy :

+ f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞).

+ f(x) không liên tục tại x = -1.

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 11

⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1.

⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1.

Bài 4 (trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 12 và g(x) = tan(x) + sin(x)

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Lời giải:

Pasted into Ham So Lien Tuc Toan 11 1 13

Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11):

Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x và hàm số y = g(x) không liên tục tại x, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x“.

Lời giải:

Ý kiến trên đúng.

Vì giả sử ngược lại hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) là hàm số liên tục tại x. Khi đó, hàm số g(x) = h(x) – f(x) là hiệu của hai hàm số liên tục tại x nên hàm số g(x) là hàm số liên tục x ( định lí về hàm số liên tục)

=> Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g(x) không liên tục tại x.

Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. cos x = x có nghiệm

Xem thêm:  Các Tập Hợp Số - Toán 10

Lời giải:

a. Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1

TXĐ: D = R

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = – 3 < 0

f(0) = 1 > 0

f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R.

do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0

g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.

Trên đây là nội dung liên quan đến Hàm Số Liên Tục – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *