Hàm Số Liên Tục – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hàm Số Liên Tục – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0..

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm

IV. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11):

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3.

Lời giải:

Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):

a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x₀ = 2, biết :

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x₀=2.

Lời giải:

a) Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x = 2

Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.

Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):

Cho hàm số

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số (hình bên).

Quan sát đồ thị nhận thấy :

+ f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞).

+ f(x) không liên tục tại x = -1.

⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1.

⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1.

Bài 4 (trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số  và g(x) = tan(x) + sin(x)

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Lời giải:

Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11):

Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀ và hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x₀“.

Lời giải:

Ý kiến trên đúng.

Vì giả sử ngược lại hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) là hàm số liên tục tại x₀. Khi đó, hàm số g(x) = h(x) – f(x) là hiệu của hai hàm số liên tục tại x₀ nên hàm số g(x) là hàm số liên tục x₀ ( định lí về hàm số liên tục)

=> Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g(x) không liên tục tại x₀.

Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. cos x = x có nghiệm

Lời giải:

a. Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1

TXĐ: D = R

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(-2) = 2.(-2)³ – 6(-2) + 1 = – 3 < 0

f(0) = 1 > 0

f(1) = 2.1³ – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R.

do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0

g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.

Trên đây là nội dung liên quan đến Hàm Số Liên Tục – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!