Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

– Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

– Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,…

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

– Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

– Ví dụ: 3tan2 x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Việt Bắc - Tố Hữu

3. Phương trình bậc nhất đối với sin x  cos x

– Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x :

asin x + bcos x = Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11        (1)

với Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 1 (a2 + b2 ≠ 0)

– Xét phương trình: asin x + bcos x = c        (2)

với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 ≠ 0).

+ Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

– Cách giải:

+ Bước 1: Chuyển vế

+ Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a

+ Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản.

– Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x – √3 = 0

Ta có: 2sin x – √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 2

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

– Cách giải:

+ Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

+ Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này

+ Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

– Ví dụ: Giải phương trình:

3cos2x – 2cos x – 1 = 0

Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*)

Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t2 – 2t – 1 = 0 (**)

Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t1 = 1 và t2 = -1/3 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy ta có:

TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π    (k ∈ Z).

TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±arccos (-1/3) + k2π    (k ∈ Z)

III. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Xem thêm:  Công thức tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất

Lời giải:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 3

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 4 (k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 5 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 6

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 7 (k ∈ Z).

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 8

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 9 (k ∈ Z)

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 10

Lời giải:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 11

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 12

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 13

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 14 + k2π; Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 15 + k2π; arcsinPasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 16 + k2π; π – arcsinPasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 16 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 17

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 18 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 19 + kπ; arctanPasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 20 + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 21

tanx – 2.cotx + 1 = 0

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 22 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 23 + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 24

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 25 (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

Xem thêm:  Số Trung Bình Cộng. Số Trung Vị. Mốt - Toán 10

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 26

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 27 (k ∈ Z)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 28

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 29

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 30 (k ∈ Z)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 31

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 32

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 33 (k ∈ Z)

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 42

Lời giải:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 43

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 44 (k ∈ Z)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 45

Ta có: Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 46 nên tồn tại α thỏa mãn Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 47

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 48

Vậy phương trình có họ nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 49 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 50

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 51

Vậy phương trình có tập nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 52 (k ∈ Z)

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 53

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 54 nên tồn tại α thỏa mãn Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 55

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 56

Vậy phương trình có họ nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 57 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 58

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 59

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 60

Vậy phương trình có họ nghiệm Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 61 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 62

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Pasted into Mọt Só Phuong Trình Luọng Giác Thuòng Gạp Toan 11 1 63

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Trên đây là nội dung liên quan đến Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *