Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

– Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

– Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,…

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

– Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

– Ví dụ: 3tan2 x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

3. Phương trình bậc nhất đối với sin x  cos x

– Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x :

asin x + bcos x = Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 115        (1)

với Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 116 (a2 + b2 ≠ 0)

– Xét phương trình: asin x + bcos x = c        (2)

với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 ≠ 0).

+ Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

Xem thêm:  Cung Và Góc Lượng Giác - Toán 10

+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

– Cách giải:

+ Bước 1: Chuyển vế

+ Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a

+ Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản.

– Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x – √3 = 0

Ta có: 2sin x – √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 117

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

– Cách giải:

+ Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

+ Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này

+ Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

– Ví dụ: Giải phương trình:

3cos2x – 2cos x – 1 = 0

Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*)

Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t2 – 2t – 1 = 0 (**)

Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t1 = 1 và t2 = -1/3 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy ta có:

TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π    (k ∈ Z).

TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±arccos (-1/3) + k2π    (k ∈ Z)

III. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 118

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 119 (k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Về Luân Lí Xã Hội Ở Nước Ta - Phan Châu Trinh

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 120 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 121

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 122 (k ∈ Z).

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 123

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 124 (k ∈ Z)

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 125

Lời giải:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 126

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 127

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 128

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 129 + k2π; Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 130 + k2π; arcsinMột Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 131 + k2π; π – arcsinMột Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 131 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 133

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 134 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 135 + kπ; arctanMột Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 136 + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 137

tanx – 2.cotx + 1 = 0

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 138 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 139 + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 140

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 141 (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Xem thêm:  Bảng chữ cái Tiếng Thái và Cách phát âm tiếng Thái chuẩn

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 142

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 143 (k ∈ Z)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 144

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 145

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 146 (k ∈ Z)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 147

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 148

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 149 (k ∈ Z)

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 150

Lời giải:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 151

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 152 (k ∈ Z)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 153

Ta có: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 154 nên tồn tại α thỏa mãn Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 155

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 156

Vậy phương trình có họ nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 157 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 158

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 159

Vậy phương trình có tập nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 160 (k ∈ Z)

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 161

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 162 nên tồn tại α thỏa mãn Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 163

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 164

Vậy phương trình có họ nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 165 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 166

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 167

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 168

Vậy phương trình có họ nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 169 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 170

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11 171

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Trên đây là nội dung liên quan đến Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *