Vectơ Trong không gian – Toán 11

Để học tốt Hình Học 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Vectơ Trong không gian – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 2

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 3chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 4

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Xem thêm:  7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 5đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 6 thì có thể xả ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 7 không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 9 đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 8 luôn luôn song song với một mặt phẳng.

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 10

a) Ba vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 9 không đồng phẳng

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 1

b) Ba vectơPasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 9 đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 11không cùng phương và vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 13. Khi đó ba vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 9đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 12. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Xem thêm:  Các Phép Toán Tập Hợp - Toán 10

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 9 Khi đó với mọi vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 14 ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 15. Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

III. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 91 SGK Hình học 11):

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA, BB, CC, DD lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 16

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 18

Bài 2 (trang 91 SGK Hình học 11):

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Chứng minh rằng:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 19

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 20

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 21

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 22

Bài 3 (trang 91 SGK Hình học 11):

Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 23

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 24

Bài 4 (trang 92 SGK Hình học 11):

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 25

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 26

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 27

Bài 5 (trang 92 SGK Hình học 11):

Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 28

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 29

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 6 (trang 92 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 30

Lời giải:

Xem thêm:  Lũy Thừa - Toán 12

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 31

Bài 7 (trang 92 SGK Hình học 11):

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 32

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 33

Bài 8 (trang 92 SGK Hình học 11):

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cóPasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 34 . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 35 qua các vectơ Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 36

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 37

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 38

Bài 9 (trang 92 SGK Hình học 11):

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 39

Lời giải

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 41

Bài 10 (trang 92 SGK Hình học 11):

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 42

Lời giải:

Pasted into Vecto Trong khong gian Toan 11 1 43

Trên đây là nội dung liên quan đến Vectơ Trong không gian – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *