Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 29

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 30
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: : Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 31

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 32
Chú ý:

– Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 33

– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

– Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d được xác định: Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 34

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Hồi Trống Cổ Thành - La Quán Trung

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 35   Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 36

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 37

Chú ý:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 38   – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 39

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 40

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình f(x) = g(x)

+) Nếu (1) vô nghiệm thì Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 41.

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[a; b]. giả sử α thì Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 42

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) là Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 43. Trong đó α, β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) (a ≤ α < β ≤ b).

Xem thêm:  Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các giá trị α, β.

Bước 2. Tính Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 44 như trường hợp 1.

2. Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

. Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b (a < b) quay quanh trục OxPasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 45.

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b (a < b) quay quanh trục OxPasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 46

Bài 1 (trang 121 SGK Giải tích 12): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2;y = x + 2

b) y =|lnx|; y = 1

c) y = (x – 6)2; y = 6x – x2

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình :

x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 47

Vậy diện tích cần tìm là:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 48

b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt :

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 49

Vậy diện tích cần tìm là:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 50

(Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 51

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 52

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt :

(x – 6)2 = 6x – x2

⇔ (x – 6)2 + x2 – 6x = 0

⇔ (x – 6). (x – 6+ x) = 0

⇔ (x – 6)(2x – 6) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 6

Vậy diện tích cần tìm là:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 53

Bài 2 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2+1 , tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Một người Hà Nội - Nguyễn Khải

Lời giải:

Xét hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm y’ = 2x

Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x2 + 1 tại điểm M(2; 5) là :

y = y’(2).(x – 2) + 5 ⇔ y = 4(x- 2) + 5 hay y = 4x – 3

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và tiếp tuyến là :

x2 + 1 = 4x – 3 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x= 2

Vậy diện tích hình giới hạn bởi y = x2 + 1; tiếp tuyến y = 4x – 3 và trục Oy (x = 0) là:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 54

Bài 3 (trang 121 SGK Giải tích 12): Parabol Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 55 chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính 2√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Lời giải:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 56

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 57

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 58

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 59

Bài 4 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 61
Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 62

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 63
b) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 64
c) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

Pasted into Ung Dung Cua Tich Phan Trong Hinh Hoc Toan 12 65

Trên đây là nội dung liên quan đến Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *