Tích Phân – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Tích Phân – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

Lý thuyết Tích phân

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là Pasted into Tich Phan Toan 12

Ta dùng kí hiệu Pasted into Tich Phan Toan 12 1 1 để chỉ hiệu số F(b) – F(a). Vậy Pasted into Tich Phan Toan 12 1 4.

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Pasted into Tich Phan Toan 12 1 4 . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân Pasted into Tich Phan Toan 12 1 5 là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = Pasted into Tich Phan Toan 12 1 6

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chiến Thắng Mtao Mxây - Sử thi Tây Nguyên

2. Tính chất của tích phân

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 7

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Một số phương pháp tính tích phân

I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 8
Hướng dẫn:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 9

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất Pasted into Tich Phan Toan 12 1 10 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân Pasted into Tich Phan Toan 12 1 11.

Hướng dẫn:

Nhận xét: Pasted into Tich Phan Toan 12 1 12. Do đó

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 13
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 14
Ví dụ 3: Tính tích phân Pasted into Tich Phan Toan 12 1 15.

Hướng dẫn:

Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

Khi đó Pasted into Tich Phan Toan 12 1 16

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 17    2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 18
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 19
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân Pasted into Tich Phan Toan 12 1 20 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân Pasted into Tich Phan Toan 12 1 21 thì nên đổi biến dạng 1.

Xem thêm:  Phép Biến Hình - Toán 11

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 22
a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

Vậy Pasted into Tich Phan Toan 12 1 23

b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận: Pasted into Tich Phan Toan 12 1 24.

Vậy Pasted into Tich Phan Toan 12 1 25

IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 26
hay viết gọn là Pasted into Tich Phan Toan 12 1 27. Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Pasted into Tich Phan Toan 12 1 28

Dạng hàm P(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt * u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : Pasted into Tich Phan Toan 12 1 29

Hướng dẫn:

a) Đặt Pasted into Tich Phan Toan 12 1 30

Do đó Pasted into Tich Phan Toan 12 1 31

b) Đặt Pasted into Tich Phan Toan 12 1 32

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 33

V. Giải bài Tập SGK

Bài 1 (trang 112 SGK Giải tích 12):

Tính các tích phân sau:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 34

Lời giải:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 35

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 36

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 37

Bài 2 (trang 112 SGK Giải tích 12):

Tính các tích phân sau:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 38

Lời giải:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 39

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 41

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 42

Bài 3 (trang 113 SGK Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 43

Lời giải:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 46

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 47

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 48

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 49

Bài 4 (trang 113 SGK Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 50

Lời giải:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 51

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 52

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 53

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 54

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 55

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 56

Bài 5 (trang 113 SGK Giải tích 12):

Tính các tích phân sau:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 57

Lời giải:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 58

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 59

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 60

Bài 6 (trang 113 SGK Giải tích 12):

Tính Pasted into Tich Phan Toan 12 1 61 bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x;

⇒ du = -dx

Đổi biến :

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 62

Theo công thức tích phân từng phần:

Pasted into Tich Phan Toan 12 1 63

Trên đây là nội dung liên quan đến Tích Phân – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Xem thêm:  Bảng cửu chương Nhân - Chia cho Bé chuẩn nhất

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *