Nguyên Hàm – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Nguyên Hàm – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Nguyên hàm

A. Tóm tắt lý thuyết

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

Xem thêm:  Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản - Toán 11

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Pasted into Nguyen Ham Toan 12

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx

Hay ∫udv = uv – ∫vdu

B. Kĩ năng giải bài tập

– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.

– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

III. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 1

Lời giải:

a) Ta có: (-e-x)’ = -e-x.(-x)’ = e-x

⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 2

Lại có : ( e-x )’ = e-x. (-x)’ = – e-x

Suy ra, e-x là một nguyên hàm của hàm số -e-x

Xem thêm:  Công thức tính chu vi hình vuông, diện tích hình vuông đầy đủ nhất

Vậy Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 3

b) (sin2x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin2x là một nguyên hàm của hàm số .

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 4

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 5

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 6 là một nguyên hàm của hàm số Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 7

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 8

Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12):

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 9

Lời giải:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 10

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 11

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 12

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 13

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 14

Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 15

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx hay dx = – du

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 16

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 17

b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 18

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 19

Thay lại u = 1+ x2 vào kết quả ta được:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 20

c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 21

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 22

d) Ta có:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 23

Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 24

Lời giải:

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 28

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 29

Pasted into Nguyen Ham Toan 12 1 30

Trên đây là nội dung liên quan đến Nguyên Hàm – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *