Mặt Cầu – Toán 12

Để học tốt Hình Học 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Hình Học 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Mặt Cầu – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Mặt cầu

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Pasted into Mat Cau Toan 12

Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:

– Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = –OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.

– Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.

– Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.

⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 1

– Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính  (hình a).

– Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).

– Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 2

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

– Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

– Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

– Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chiếu Cầu Hiền - Ngô Thì Nhậm

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

– Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

– Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

– Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

• Diện tích mặt cầu: SC = 4πR2.

• Thể tích mặt cầu: VC = (4/3)πR3.

B. Kĩ năng giải bài tập

I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

1. Các khái niệm cơ bản

Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản

a) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

– Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC’.

– Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Bán kính: R = AC’/2 .

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 3

b) Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 4

Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3…An.A’1A’2A’3…A’n , trong đó có 2 đáy A1A2A3…An và A’1A’2A’3…A’n nội tiếp đường tròn (O) và (O’). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

– Tâm: I với I là trung điểm của OO’.

Xem thêm:  Các Tập Hợp Số - Toán 10

– Bán kính: R = IA1 = IA2 = … = IA’n .

c) Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 5

– Hình chóp S.ABC có Pasted into Mat Cau Toan 12 1 6.

+ Tâm: I là trung điểm của SC.

+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC. .

– Hình chóp S.ABCD có

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 7

+ Tâm: I là trung điểm của SC.

+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC = ID.

d) Hình chóp đều.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 8

Cho hình chóp đều S.ABC …

– Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

– Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

– Bán kính:

Ta có: Pasted into Mat Cau Toan 12 1 9 Bán kính là:

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 10

e) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 11

Cho hình chóp S.ABC… có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC… được xác định như sau:

– Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC…) tại O.

– Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = …

– Tìm bán kính:

Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

Xét ΔMAI vuông tại M có:

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 12

f) Hình chóp khác

– Dựng trục Δ của đáy.

– Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.

– (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

– Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g) Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 13

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

Cho hình chóp S.A1A2…An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 14

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Nỗi thương mình (trích Truyện Kiều) - Nguyễn Du

Lúc đó : – Tâm O của mặt cầu: Δ ∩ mp(α) = {O}

– Bán kính: R = SA (= SO) . Tuỳ vào từng trường hợp.

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất: ∀M ∈ Δ: MA = MB = MC

Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ Δ

2. Các bước xác định trục:

– Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

– Bước 2: Qua H dựng Δ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 15

VD: Một số trường hợp đặc biệt

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 16

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 17

ΔSMO đồng dạng với ΔSIA Pasted into Mat Cau Toan 12 1 18 .

4. Nhận xét quan trọng:

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 19 ⇒ SM là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 20

Ví dụ: Cho Pasted into Mat Cau Toan 12 1 21

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông

⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.

Gọi là trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT khối chóp và bán kính R = SI.

Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 22

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.

+ Vẽ SG ⊥ (ABC) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

+ Trên mặt phẳng (SGC) , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán kính R = IS.

+ Ta có Pasted into Mat Cau Toan 12 1 23

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

Pasted into Mat Cau Toan 12 1 24

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) ⊥ (ABC) và ΔSAB đều. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC .

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC (do MA = MB = MC ).

Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC (d1 qua M và song song SH).

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và d2 là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB, d2 cắt d1 tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

⇒ Bán kính R = SI. Xét Pasted into Mat Cau Toan 12 1 25

Trên đây là nội dung liên quan đến Mặt Cầu – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *