Khoảng Cách – Toán 11

Để học tốt Hình Học 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Khoảng Cách – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Pasted into Khoang Cach Toan 11

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Δ.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 1

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 2

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 3

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 4

– Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

– Trong (α) dựng BA ⊥ (α) tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Tỏ lòng - Phạm Ngũ Lão

Cách 1

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 5

+ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.

+ Lấy một điểm M tùy ý trên b, dựng MM’ ⊥ (α) tại M’.

+ Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A.

+ Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 6

+ Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I.

+ Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên mặt phẳng (α).

+ Trong mặt phẳng (α), vẽ OH ⊥ b’, H ∈ b’.

+ Từ H dựng đường thẳng song song với a và cắt b tại B.

+ Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

+ Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

IV. GIẢI BÀI TẬP SGK

Bài 1 (trang 119 SGK Hình học 11):

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).

c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Lời giải:

a) Sai

Sửa lại: “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b”

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Sai.

Bài 2 (trang 119 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Xem thêm:  Công thức tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 7

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 8

Bài 3 (trang 119 SGK Hình học 11):

Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A, B và D đến đường chéo AC đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 9

a) Ta có: ∆ ABC’ = ∆ C’CA = ∆ADC’=∆ AA’C’ =∆ C’B’A = ∆C’D’A (c.c.c)

⇒ Các đường cao hạ từ B; C; D; A’; B’; D’ xuống AC’ bằng nhau

( chú ý: các tam giác trên đều có chung cạnh AC’)

Gọi khoảng cách đó là h.

Ta có: CC’ = a;Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 10

ΔC’AC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông là CA và CC’. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 11

Bài 4 (trang 119 SGK Hình học 11):

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, BC = b, CC = c.

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACCA).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC.

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 12

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 13

Bài 5 (trang 119 SGK Hình học 11):

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 14

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 15

> tứ giác A’BCD’ là hình bình hành

=> BA’ // CD’ ( tính chất của hình bình hành)

Tương tự, tứ giác ABC’D’ là hình bình hành nên BC’//AD’

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 16

ọi O và O’ là tâm của ABCD và A’B’C’D’.

Gọi H và I lần lượt là tâm của hai tam giác đều BA’C’ và ACD’.

* Xét ( BB’D’D) có BO’// D’O nên OI // HB

Lại có: O là trung điểm BD

=> I là trung điểm của HD: IH = ID (1)

* Xét (BB’D’D) có D’O// BO’ nên D’I // HO’

Lại có: O’ là trung điểm của B’D’ nên H là trung điểm B’I: HI = HB’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 17

* Theo phần trên B’D ⊥ (BA’C) ⇒ IH ⊥ (BA’C)

Mà I ∈ (ACD’) nên khoảng cách giữa hai mp song song (ACD’) và ( BA’C’) là độ dài đoạn IH.

Khi đó: Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 18

Bài 6 (trang 119 SGK Hình học 11):

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Đại Cáo Bình Ngô - Nguyễn Trãi

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 19

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD

Qua K kẻ đường thẳng d // AB, trên d lấy A’, B’ sao cho K là trung điểm của A’B’ và

KA’ = IA

* Xét tam giác CKB’ và DKA’ có:

KC= KD ( giả thiết)

KB’= KA’( cách dựng)Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 20

=> ∆ CKB’ = ∆ DKA’ ( c.g.c)

=> B’C = A’D

*Xét tứ giác IBB’K có IB= KB’ và IB // KB’ ( cách dựng)

=> Tứ giác IBB’K là hình bình hành

=> BB’ // IK (1)

Chứng minh tương tự, ta có: AA’// IK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BB’// IK// AA’ (*)

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 21

Lại có:IK ⊥ CK

=> IK ⊥ (CKB’) (**)

Từ (*) và (**) suy ra BB’ ⊥ (CKB’) ; AA’ ⊥ (CKB’)

⇒ BB’ ⊥ B’C; AA’ ⊥ A’D

* Xét hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có:

BB’ = AA’ (= IK)

CB’ = A’D (chứng minh trên)

=> ∆ BCB’ = ∆ ADA’ ( cạnh huyền –cạnh góc vuông)

=> BC= AD.

* Chứng minh tương tự, AC = BD

Bài 7 (trang 120 SGK Hình học 11):

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 22

Gọi H là tâm của tam giác ABC ( khi đó H là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC).

Do hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SH ⊥ (ABC)

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 23

Vậy khoảng cách từ S đến (ABC ) là a.

Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.

Lời giải:

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 24

Hai tam giác CBA và DBA là hai tam giác đều cạnh a

=> ∆ CBA = ∆ DBA ( c.c.c)

=> CM = DM ( 2 đường trung tuyến tương ứng)

=> Tam giác CMD cân tại M.

Lại có: MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: MN ⊥ CD

* Chứng minh tương tự, ta có: MN ⊥ AB

Do đó, MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

* Tam giác BCD là tam giác đều cạnh a nên

Pasted into Khoang Cach Toan 11 1 25

Trên đây là nội dung liên quan đến Khoảng Cách – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *