Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hoán vị

a) Định nghĩa:

– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

– Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

b) Số các hoán vị:

– Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.

– Định lý:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa:

– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Số các chỉnh hợp:

– Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

– Định lý:

Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 23

– Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: Pn = Ann

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa:

– Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

– Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

b) Số các tổ hợp:

– Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).

– Định lý:

Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 24

c) Tính chất của các số Cnk

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Hầu Trời - Tản Đà

– Tính chất 1:

Cnk = Cnn – k (0 ≤ k ≤ n)

– Tính chất 2:

Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 25

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 54 SGK Đại số 11):

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:

a. Có tất cả bao nhiêu số?

b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c. Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?

Lời giải:

Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

n(A) = 6.

a. Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó

⇒ Có P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn

Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài.

b. Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6.

Gọi số cần lập là Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 26

+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6)

+ Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f).

+ Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f).

+ Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f).

+ Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f).

+ Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại).

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn).

Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ.

c. Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn :

Cách 1 : Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4.

+ Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3).

+ Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P5 = 120 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn.

Cách 2 : Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4. Tiếp tục có 2 cách thực hiện.

– Chọn chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3 :

+ Chọn chữ số hàng chục nghìn : Có 2 cách (Chọn 1 hoặc 2).

+ Sắp xếp 4 chữ số còn lại : Có P4 = 24 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 2.24 = 48 số thỏa mãn.

Xem thêm:  Hàm Số Lượng Giác - Toán 11

– Chọn chữ số hàng chục nghìn bằng 3, khi đó :

+ Chữ số hàng nghìn : Có 1 cách chọn (Phải bằng 1).

+ Sắp xếp 3 chữ số còn lại : Có P3 = 6 cách chọn

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 1.6 = 6 số thỏa mãn.

⇒ Theo quy tắc cộng: Có 48 + 6 = 54 số thỏa mãn có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4.

⇒ Có: 360 + 54 = 414 số nhỏ hơn 432 000.

Bài 2 (trang 54 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử.

Vậy có P10 = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp.

Bài 3 (trang 54 SGK Đại số 11):

giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

Lời giải:

Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ.

Vậy số cách chọn chính là Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 27 (cách).

Bài 4 (trang 55 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

Lời giải:

Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6.

Vậy có Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 28 (cách).

Bài 5 (trang 55 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a. Các bông hoa khác nhau?

b. Các bông hoa như nhau?

Lời giải:

a. Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Ông Già Và Biển Cả - Hê-minh-uê

(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau).

Vậy có: Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 29 (cách).

b. Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).

Vậy có: Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 30 (cách).

Bài 6 (trang 55 SGK Đại số 11):

Trong mặt phẳng, có 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Lời giải:

Cứ chọn 3 điểm không thẳng hàng bất kì ta được một tam giác.

Việc lập các tam giác chính là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho và chính là tổ hợp chập 3 của 6.

Vậy có : Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 31 cách lập.

Bài 7 (trang 55 SGK Đại số 11):

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?

Lời giải:

Việc lập một hình chữ nhật được thực hiện bởi hai bước:

+ Chọn 2 đường thẳng trong số 4 đường thẳng.

Có: Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 32 cách chọn.

+ Chọn 2 đường thẳng trong số 5 đường thẳng vuông góc

Có: Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp - Toán 11 33 cách chọn.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 10.6 = 60 (cách lập hình chữ nhật).

Trên đây là nội dung liên quan đến Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *