Hàm Số Lũy Thừa – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hàm Số Lũy Thừa – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Hàm số lũy thừa

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa: Hàm số y = x^α với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x^α là:

• D = R nếu α là số nguyên dương.

• D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

• D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số y = x^α có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = α.x^{α – 1}.

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).

y = xα, α > 0	y = xα, α < 0
a. Tập khảo sát: (0; +∝)	a. Tập khảo sát: (0; +∝)
b. Sự biến thiên + y’ = αxα – 1 > 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có	b. Sự biến thiên + y’ = αxα – 1 < 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có – Trục 0x là tiệm cận ngang – Trục 0y là tiệm cận đứng.
	c. Bảng biến thiên

d. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm I(1; 1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x³, y = x^-2, y = x^π

B. Kĩ năng giải bài tập

Vận dụng thành thạo định nghĩa, tập xác định, cách tính đạo hàm, tính chất của hàm số lũy thừa.

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 60 SGK Giải tích 12):

Tìm tập xác định của các hàm số:

Lời giải:

a) Hàm số  xác định

⇔ 1 – x > 0

⇔ x < 1.

Vậy tập xác định D = (-∞; 1).

b) Hàm số  xác định

⇔ 2 – x² > 0

⇔ x² < 2

⇔ -√2 < x < √2.

Vậy tập xác định D = (-√2; √2).

c) Hàm số y = (x² – 1)^-2 xác định khi và chỉ khi:

x² – 1 ≠ 0 ⇔ x² ≠ 1 ⇔ x ≠ ±1

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ {-1; 1}.

d) Hàm số  xác định

⇔ x² – x – 2 > 0

⇔ (x + 1)(x – 2) > 0

⇔ x < -1 hoặc x > 2

Vậy tập xác định D = (-∞; -1) ∪ (2; +∞)

Bài 2 (trang 61 SGK Giải tích 12):

Tính đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

Bài 3 (trang 61 SGK Giải tích 12):

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Lời giải:

a) Xét hàm số  ta có:

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

+  với ∀ x > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận : Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị hàm số:

b) Xét hàm số y = x^-3, ta có :

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

+ y’ = -3.x^{-3 – 1} = -3.x^-4 < 0 với ∀ x > 0.

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định.

+ Giới hạn:

⇒ x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Bài 4 (trang 61 SGK Giải tích 12):

Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)^2,7;

b) (0,2)^0,3;

c) (0,7)^3,2;

d) (√3)^0,4

Lời giải:

a) Cách 1. Ta có: 2,7 > 0 nên hàm y = x^2,7 luôn đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 4,1 > 1 ⇒ (4,1)^2,7 > 1^2,7 = 1.

Cách 2. Ta có 4,1 > 1 và 2,7 > 0 nên ta có :

(4,1)^2,7 > (4,1)⁰ hay (4,1)^2,7 > 1

b) Ta có : 0,3 > 0 nên hàm số y = x^0,3 đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 0,2 < 1 ⇒ 0,2^0,3 < 1^0,3 = 1.

c) Ta có: 3,2 > 0 nên hàm số y = x^3,2 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì 0,7 < 1 ⇒ 0,7^3,2 < 1^3,2 = 1.

d) Ta có: 0,4 > 0 nên hàm số y = x^0,4 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì √3 > 1 ⇒ (√3)^0,4 > 1^0,4 = 1.

Bài 5 (trang 61 SGK Giải tích 12):

So sánh

Lời giải:

Hàm số y = x^α luôn đồng biến trên (0 ; +∞) với α > 0

a) Ta có : 7,2 > 0

Vì 3,1 < 4,3 nên (3,1)^7,2 < (4,3)^7,2.

b) Ta có : 2,3 > 0

c) Ta có : 0,3 > 0

Vì 0,3 > 0,2 nên (0,3)^0,3 > (0,2)^0,3.

Trên đây là nội dung liên quan đến Hàm Số Lũy Thừa – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!