Hàm Số Lượng Giác – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hàm Số Lượng Giác – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

– Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x

sin: R → R

x → y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.

– Tập xác định của hàm số sin là R.

– Là hàm số lẻ.

b) Hàm số côsin

– Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x

cos: R → R

x → y = cos x

được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x.

– Tập xác định của hàm số cosin là R.

– Là hàm số chẵn.

2. Hàm số tang và hàm số cotang

a) Hàm số tang

– Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức: Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 (cos x ≠ 0)

– Kí hiệu là y = tan x

– Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R\{π/2 + kπ, k ∈ Z}.

– Là hàm số lẻ.

b) Hàm số cotang

– Định nghĩa:

Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức: Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 1 (sin x ≠ 0)

– Kí hiệu là y = cot x

– Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R\{kπ, k ∈ Z}.

Xem thêm:  Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn - Toán 10

– Là hàm số lẻ.

3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác

– Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

– Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sin x

– Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:

Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 2

– Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 3

– Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0)

– Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1]

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 4

b) Hàm số y = cos x

– Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x.

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 5

– Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π]

– Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1]

c) Hàm số y = tan x

– Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 )

– Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O

=> Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0]

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 6

– Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D.

Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞)

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 7

d) Hàm số y = cot x

– Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π)

– Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Đất nước - Nguyễn Đình Thi

– Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 8

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11):

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x:

a. Nhận giá trị bằng 0

b. Nhận giá trị bằng 1

c. Nhận giá trị dương

d. Nhận giá trị âm

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn [-π; 3π/2].

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 9

a. tan x = 0 tại các giá trị x = -π; 0; π.

(Các điểm trục hoành cắt đồ thị hàm số y = tanx).

b. tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4.

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 10

c. tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2).

(Quan sát hình dưới)

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 11

d. tan x < 0 khi x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π)

(Quan sát hình dưới).

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 12

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = tan x có chu kì π và có đồ thị:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 13

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11):

Tìm tập xác định của hàm số:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 14
Lời giải:

a) Hàm số Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 15 xác định

⇔ sin x ≠ 0

⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z).

Tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 16 xác định

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 17
Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {k.2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 18 xác định

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 19
Vậy tập xác định của hàm số là Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 20

d) Hàm số Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 21 xác định

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 22
Vậy tập xác định của hàm số là Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 23

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x|

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số y = sin x.

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 24

+ Ta có:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 25

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía dưới.

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 26

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x

Xem thêm:  Bảng chữ cái Tiếng Anh, phiên âm chữ cái tiếng Anh chuẩn & đầy đủ nhất

Lời giải:

+ sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z)

(Do hàm số y = sin x có chu kì 2π).

⇒ Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

+ Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ.

Bảng biến thiên hàm số y = sin 2x trên [-π/2; π/2]

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 27

Đồ thị:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 28

Đồ thị hàm số y = sin 2x.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2

Lời giải:

+ Vẽ đồ thị hàm số y = cos x.

+ Vẽ đường thẳng Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 29

+ Xác định hoành độ các giao điểm.

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 30

Ta thấy đường thẳng Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 31 cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 32

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sin x:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 33

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy

y = sin x > 0

⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪…

hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = cos x:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 34

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x ta thấy

y = cos x < 0

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 35

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11):

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 36

Lời giải:

a) Ta có:

Pasted into Hàm Só Luọng Giác Toan 11 36

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3.

b) Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1

⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2

⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5

hay 1 ≤ y ≤ 5.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5.

Trên đây là nội dung liên quan đến Hàm Số Lượng Giác – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *