Hàm Số Lượng Giác – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Hàm Số Lượng Giác – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

– Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x

sin: R → R

x → y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.

– Tập xác định của hàm số sin là R.

– Là hàm số lẻ.

b) Hàm số côsin

– Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x

cos: R → R

x → y = cos x

được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x.

– Tập xác định của hàm số cosin là R.

– Là hàm số chẵn.

2. Hàm số tang và hàm số cotang

a) Hàm số tang

– Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức: Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 77 (cos x ≠ 0)

– Kí hiệu là y = tan x

– Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R\{π/2 + kπ, k ∈ Z}.

– Là hàm số lẻ.

b) Hàm số cotang

– Định nghĩa:

Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức: Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 78 (sin x ≠ 0)

– Kí hiệu là y = cot x

– Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R\{kπ, k ∈ Z}.

– Là hàm số lẻ.

3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác

– Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

– Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sin x

– Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:

Xem thêm:  Phương Sai Và Độ Lệch Chuẩn - Toán 10

Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 79

– Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 80

– Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0)

– Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1]

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 81

b) Hàm số y = cos x

– Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x.

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 82

– Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π]

– Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1]

c) Hàm số y = tan x

– Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 )

– Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O

=> Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0]

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 83

– Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D.

Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞)

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 84

d) Hàm số y = cot x

– Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π)

– Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.

– Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 85

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11):

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x:

a. Nhận giá trị bằng 0

b. Nhận giá trị bằng 1

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Tuyên Ngôn Độc Lập - Hồ Chí Minh

c. Nhận giá trị dương

d. Nhận giá trị âm

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn [-π; 3π/2].

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 86

a. tan x = 0 tại các giá trị x = -π; 0; π.

(Các điểm trục hoành cắt đồ thị hàm số y = tanx).

b. tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4.

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 87

c. tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2).

(Quan sát hình dưới)

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 88

d. tan x < 0 khi x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π)

(Quan sát hình dưới).

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 89

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = tan x có chu kì π và có đồ thị:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 90

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11):

Tìm tập xác định của hàm số:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 91
Lời giải:

a) Hàm số Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 92 xác định

⇔ sin x ≠ 0

⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z).

Tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 93 xác định

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 94
Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {k.2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 95 xác định

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 96
Vậy tập xác định của hàm số là Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 97

d) Hàm số Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 98 xác định

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 99
Vậy tập xác định của hàm số là Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 100

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x|

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số y = sin x.

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 101

+ Ta có:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 102

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía dưới.

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 103

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x

Lời giải:

+ sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z)

(Do hàm số y = sin x có chu kì 2π).

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Dọn Về Làng- Nông Quốc Chấn

⇒ Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

+ Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ.

Bảng biến thiên hàm số y = sin 2x trên [-π/2; π/2]

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 104

Đồ thị:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 105

Đồ thị hàm số y = sin 2x.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2

Lời giải:

+ Vẽ đồ thị hàm số y = cos x.

+ Vẽ đường thẳng Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 106

+ Xác định hoành độ các giao điểm.

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 107

Ta thấy đường thẳng Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 108 cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 109

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sin x:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 110

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy

y = sin x > 0

⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪…

hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = cos x:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 111

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x ta thấy

y = cos x < 0

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 112

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11):

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 113

Lời giải:

a) Ta có:

Hàm Số Lượng Giác - Toán 11 114

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3.

b) Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1

⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2

⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5

hay 1 ≤ y ≤ 5.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5.

Trên đây là nội dung liên quan đến Hàm Số Lượng Giác – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *