Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 hay un → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 1

Kí hiệu: Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 2 hay vn → a khi n → +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 3 với k nguyên dương;

b) Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 4 nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 5

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Nhàn - Nguyễn Bỉnh Khiêm

Chú ý: Từ nay về sau thay cho Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 6 ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 7

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 8

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 9

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

– Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

– Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 10

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 11

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì

V. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11):

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Xem thêm:  Bảng động từ bất quy tắc Tiếng Anh chuẩn & đầy đủ nhất

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.

Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã: Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 12

Sau 2 chu kì bán rã: Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 13

Sau 3 chu kì bán rã: Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 14

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 15

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 16

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kg

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 17

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11):

Biết dãy số (un) thỏa mãn Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 18 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.

Lời giải:

Đặt v= un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 19 thỏa mãn Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 20

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 21 với mọi n ≥ n.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 22

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 23

Lời giải:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 24

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 25

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 26

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 27

Lời giải:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 28

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 29

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 30

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11):

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

Xem thêm:  Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 31

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Lời giải:

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 32 ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là:Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 33

Từ đó , ta có:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 34

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 35 (Tổng của n số hạng đầu của CSN)

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 37

Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính tổng:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 38

Lời giải:

Dãy Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 39 là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = -1 và công bội Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 40

Tổng của cấp số nhân đó là Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 41

Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11):

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Ta có: a= 1,02020202… ( chu kì 2)

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + …..

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 42

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 43

Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính các giới hạn sau:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 44

Lời giải:

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 45

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 46

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 47

Pasted into Goi Han Cua Day So Toan 11 1 48

Trên đây là nội dung liên quan đến Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *