Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 97 hay un → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 98

Kí hiệu: Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 99 hay vn → a khi n → +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 100 với k nguyên dương;

b) Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 101 nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 102

Chú ý: Từ nay về sau thay cho Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 103 ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 104

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 105

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 106

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

– Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Số phận con người - Sô-lô-khốp

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

– Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 107

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 108

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì

V. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11):

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.

Xem thêm:  Bảng động từ bất quy tắc Tiếng Anh chuẩn & đầy đủ nhất

Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã: Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 109

Sau 2 chu kì bán rã: Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 110

Sau 3 chu kì bán rã: Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 111

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 112

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 113

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kg

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 114

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11):

Biết dãy số (un) thỏa mãn Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 115 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.

Lời giải:

Đặt v= un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 116 thỏa mãn Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 117

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 118 với mọi n ≥ n.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 119

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 120

Lời giải:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 121

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 122

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 123

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 124

Lời giải:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 125

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 126

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 127

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11):

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 128

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Lời giải:

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chiếc Thuyền Ngoài Xa - Nguyễn Minh Châu

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 129 ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là:Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 130

Từ đó , ta có:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 131

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 132 (Tổng của n số hạng đầu của CSN)

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 133

Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính tổng:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 134

Lời giải:

Dãy Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 135 là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = -1 và công bội Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 136

Tổng của cấp số nhân đó là Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 137

Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11):

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Ta có: a= 1,02020202… ( chu kì 2)

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + …..

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 138

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 139

Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính các giới hạn sau:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 140

Lời giải:

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 141

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 142

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 143

Giới Hạn Của Dãy Số - Toán 11 144

Trên đây là nội dung liên quan đến Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *