Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10

Để học tốt Hình Học 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Hình Học 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 95 có sđ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 96 = α (còn viết Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 97 = α)

Tung độ y = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 98 của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα

sin α = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 99

Hoành độ x = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 100của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα

cos α = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 101

Nếu cos α ≠ 0, tỉ số Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 102 gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)

Tan α = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 103

Nếu sinα ≠ 0 tỉ số Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 104 gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 105 Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

2. Hệ quả

1) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có

sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;

cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z

2) Vì –1 ≤ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 106 ≤ 1; –1 ≤ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 107 ≤ 1 nên ta có

Xem thêm:  Cách học Công thức lượng giác chuẩn & đơn giản bằng "Thơ"

–1 ≤ sin α ≤ 1

–1 ≤ cos α ≤ 1

3) Với mọi m ∈ R mà –1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sin α = m và cos β = m.

4) tanα xác định với mọi α ≠ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 108 + kπ (k ∈ Z)

5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung = α trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác |Góc phần tư I II III IV
cos α + +
sin α + +
tan α + +
cot α + +

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 109

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của tan α

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 110 trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 111

2. Ý nghĩa hình học của cot α

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s’Bs

cot α được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 112 trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 113

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

Xem thêm:  Tuyển tập công thức tính chu vi diện tích hình chữ nhật cực hay

sin2α + cos2α = 1

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 114

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: α và –α

cos(-α) = cosα

sin(-α) = –sinα

tan(-α) = –tanα

cot(-α) = –cotα

2) Cung bù nhau: α và π-α

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = –cosα

tan(π-α) = –tanα

cot(π-α) = –cotα

3) Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = –sinα

cos(α + π) = –cosα

tan(α + π) = tanα

cot(α + π) = cotα

4) Cung phụ nhau: α và Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 115

sinGiá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 116 = cosα

cosGiá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 117 = sinα

tanGiá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 118) = cotα

cotGiá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 119 = tanα

IV. GIẢI BÀI TẬP SGK 

Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 120

Lời giải

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 121

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 122 thì theo định nghĩa sin α = Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 123

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 124

 

 

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c) Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d) Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không ?

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 125

Lời giải

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 126

Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 127

Lời giải

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Xem thêm:  Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất - Toán 10

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 128

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin (α – π) = – sin (π – α) (Áp dụng công thức sin (- α) = – sin α)

= -sin α (Áp dụng công thức sin (π – α) = sin α)

Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 129

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 130

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 131 như trên hình vẽ.

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 132

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 133

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 134

Bài 4 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Tính các giá trị lượng giác của góc α nếuGiá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 135

Lời giải

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 136

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 137

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 138

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 139

Bài 5 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Tính α, biết

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 140

Lời giải

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Toán 10 141

a) cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.

b) cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z

c) cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z

d) sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z

e) sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z

f) sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z

Trên đây là nội dung liên quan đến Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *