Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10

Để học tốt Hình Học 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Hình Học 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 có sđ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 = α (còn viết Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 1 = α)

Tung độ y = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 3 của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα

sin α = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 3

Hoành độ x = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 4của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα

cos α = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 6

Nếu cos α ≠ 0, tỉ số Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 7 gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)

Tan α = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 7

Nếu sinα ≠ 0 tỉ số Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 9 gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 10 Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

Xem thêm:  Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11

2. Hệ quả

1) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có

sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;

cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z

2) Vì –1 ≤ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 3 ≤ 1; –1 ≤ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 6 ≤ 1 nên ta có

–1 ≤ sin α ≤ 1

–1 ≤ cos α ≤ 1

3) Với mọi m ∈ R mà –1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sin α = m và cos β = m.

4) tanα xác định với mọi α ≠ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 11 + kπ (k ∈ Z)

5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung = α trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác |Góc phần tư I II III IV
cos α + +
sin α + +
tan α + +
cot α + +

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 12

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của tan α

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 13 trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 14

2. Ý nghĩa hình học của cot α

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s’Bs

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Thương Vợ - Trần Tế Xương

cot α được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 15 trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 16

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

sin2α + cos2α = 1

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 17

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: α và –α

cos(-α) = cosα

sin(-α) = –sinα

tan(-α) = –tanα

cot(-α) = –cotα

2) Cung bù nhau: α và π-α

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = –cosα

tan(π-α) = –tanα

cot(π-α) = –cotα

3) Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = –sinα

cos(α + π) = –cosα

tan(α + π) = tanα

cot(α + π) = cotα

4) Cung phụ nhau: α và Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 18

sinPasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 18 = cosα

cosPasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 18 = sinα

tanPasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 18) = cotα

cotPasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 18 = tanα

IV. GIẢI BÀI TẬP SGK 

Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 19

Lời giải

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 20

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 21 thì theo định nghĩa sin α = Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 22

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 23

 

 

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c) Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d) Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không ?

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 24

Lời giải

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 25

Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Việt Bắc - Tố Hữu

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 26

Lời giải

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 27

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin (α – π) = – sin (π – α) (Áp dụng công thức sin (- α) = – sin α)

= -sin α (Áp dụng công thức sin (π – α) = sin α)

Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 28

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 29

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 30 như trên hình vẽ.

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 31

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 32

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 33

Bài 4 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Tính các giá trị lượng giác của góc α nếuPasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 34

Lời giải

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 35

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 36

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 37

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 38

Bài 5 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Tính α, biết

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 40

Lời giải

Pasted into Gia Tri Luong Giac Cua Mot Cung Toan 10 1 41

a) cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.

b) cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z

c) cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z

d) sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z

e) sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z

f) sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z

Trên đây là nội dung liên quan đến Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *