Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số – Toán 12

Để học tốt Giải tích 12, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Giải tích 12. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số – Toán 12 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

– Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 19.

Kí hiệu: Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 20

– Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 21.

Kí hiệu: Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 22

B. Kĩ năng giải bài tập

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, …)

1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

– Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

– Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x) trên K.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Hồi Trống Cổ Thành - La Quán Trung

– Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

– Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 23

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

** Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

– Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

– Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

– Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

– Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 24.

** Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

– Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

– Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

– Bước 3. Tính Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 25.

– Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 26.

** Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 23-24 SGK Giải tích 12):

Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x4 – 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c) Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 27 trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2] ;

d) Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 28 trên đoạn [-1 ; 1].

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Thương Vợ - Trần Tế Xương

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y’ = 3x2 – 6x – 9;

y’ = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3.

+ Xét hàm số trên đoạn [-4; 4] :

y(-4) = -41 ;

y(-1) = 40 ;

y(3) = 8

y(4) = 15.

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 29

+ Xét hàm số trên [0 ; 5].

y(0) = 35 ;

y(3) = 8 ;

y(5) = 40.

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 30

b) TXĐ: D = R

y’ = 4x3 – 6x

y’ = 0 ⇔ 2x.(2x2 – 3) = 0 ⇔ Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 31

+ Xét hàm số trên [0 ; 3] :

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 32

+ Xét hàm số trên [2; 5].

y(2) = 6;

y(5) = 552.

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 33

c) TXĐ: D = (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 34 > 0 với ∀ x ∈ D.

⇒ hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

⇒ Hàm số đồng biến trên [2; 4] và [-3; -2]

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 35

d) TXĐ: D = (-∞; 5/4]

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 36 với ∀ x ∈ (-∞; 5/4)

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 5/4)

⇒ Hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 37

Bài 2 (trang 24 SGK Giải tích 12):

Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm.

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm)

⇒ độ dài cạnh còn lại là : 8 – x (cm)

⇒ Diện tích của hình chữ nhật là:

S = x(8 – x) = 8x – x2 = 16 – (16 – 8x + x2) = 16 – (x – 4)2 ≤ 16.

⇒ Smax = 16

Dấu bằng xảy ra khi (x – 4)2 = 0 ⇔ x = 4.

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm2.

Bài 3 (trang 24 SGK Giải tích 12):

Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chạy giặc - Nguyễn Đình Chiểu

Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (điều kiện: x > 0).

⇒ độ dài cạnh còn lại  Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 38 (m)

⇒ chu vi hình chữ nhật :

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 39

Xét hàm số Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 40 trên (0; +∞):

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 41

Bảng biến thiên trên (0; +∞):

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 42

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m2 thì hình vuông cạnh 4√3 m có chu vi nhỏ nhất.

Bài 4 (trang 24 SGK Giải tích 12): Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 43

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

Ta thấy: 1 + x2 ≥ 1

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 44

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 45 đạt được khi 1 + x2 = 1 ⇔ x = 0.

b) TXĐ : D = R

⇒ y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2(1 – x)

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 46

Từ bảng biến thiên suy ra: max y = y(1) = 1.

Bài 5 (trang 24 SGK Giải tích 12):

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 47

Lời giải:

a)

– Cách 1:

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

⇒ Hàm số có giá trị nhỏ nhất là min y = 0 khi x = 0.

– Cách 2:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 48

Bảng biến thiên:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 49

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = 0

b) D = (0; +∞)

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 50

Bảng biến thiên:

Pasted into Gia Tri Lon Nhat Va Gia Tri Nho Nhat Cua Ham So Toan 12 1 51

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = y(2) = 4

Trên đây là nội dung liên quan đến Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số – Toán 12 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *