Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng – Toán 11

Để học tốt Hình Học 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Kí hiệu d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 1

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 2

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Tính chất 1

Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 3

Tính chất 2

Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Truyện An Dương Vương và Mị Châu - Trọng Thủy - Truyền thuyết

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 4

Tính chất 3

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 5

5. Định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 6

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 7

Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.

II. GIẢI BÀI TẬP SGK

Bài 1 (trang 104 SGK Hình học 11): Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu a // (α), b ⊥(α) thì a ⊥b.

b) Nếu a // (α), b ⊥a thì b ⊥(α).

c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a.

d) Nếu a ⊥(α), b ⊥a thì b ⊥(α).

Lời giải:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Giải thích:

a) Dựa vào tính chất 3a).

b) Ví dụ: a // (α); b ⊥ a nhưng b // (α).

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 9

c) Ví dụ: a // (α); b // (α) nhưng a ∩ b.

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 10

d) a ⊥ (α) và b ⊥ a thì b có thể nằm trong mp(α).

Bài 2 (trang 104 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

Xem thêm:  Công thức tính Chu vi & Diện tích Hình Tròn

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 12

a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

AI ⊥ BC

+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

DI ⊥ BC

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 13

Bài 3 (trang 104 SGK Hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 14

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 15

Bài 4 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 16

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 17

a) Ta có:Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 18

Do H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên:

OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BC (2)

Mà OA; OH ⊂ (OAH); OA ∩ OH = O (3)

Từ (1); (2) và (3) ⇒ BC ⊥ (OAH)

⇒ BC ⊥ AH

Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BH

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 19

⇒ H là trực tâm ΔABC.

b) Gọi M = AH ∩ BC.

+ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OM.

ΔOBC vuông tại O có đường cao OM

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 20

Bài 5 (trang 105 SGK Hình học 11):

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO ⊥(α)

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 21

a)

+ Do ABCD là hình bình hành có tâm O- giao điểm hai đường chéo

=> O là trung điểm AC và BD( tính chất hình bình hành)

* Xét tam giác SAC có SA= SC nên tam giác SAC cân tại S

Lại có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: SO ⊥ AC

+ Tương tự, tam giác SBD cân tại S có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Chí khí anh hùng (trích Truyện Kiều) - Nguyễn Du

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 22

b) SO ⊥ (α) ⇒ SO ⊥ AB.

Lại có: SH ⊥ AB;

SO, SH ⊂ (SOH) và SO ∩ SH

⇒ AB ⊥ (SOH).

Bài 6 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SK/SD . Chứng minh:

a) BD ⊥ SC

b) IK ⊥mp(SAC)

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 23

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 24

Bài 7 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mp(SAB), kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM/SB = SN/SC .

Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC)

b) SB ⊥ AN

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 25

Bài 8 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó.

Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Lời giải:

Pasted into Duong Thang Vuong Goc Voi Mat Phang Toan 11 1 26

Giả sử ta có hai đường xiên SM, SN và các hình chiếu HM, HN của chúng trên mp (α).

Vì SH ⊥ mp(α)

⇒ SH ⊥ HM và SH ⊥ HN

⇒ ΔSHN và ΔSHM vuông tại H.

Áp dụng định lí Py-ta- go vào hai tam giác vuông này ta có:

⇒ SM2 = SH2 + HM2;

và SN2 = SH2 + HN2.

a) SM = SN ⇔ SM2 = SN2 ⇔ HM2 = HN2 ⇔ HM = HN.

b) SM > SN ⇔ SM2 > SN2 ⇔ HM2 > HN2 ⇔ HM > HN.

Trên đây là nội dung liên quan đến Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *