Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x và kí hiệu là f’(x) (hoặc y’(x)), tức là

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 1

Chú ý:

Đại lượng Δx = x – x gọi là số gia của đối số x tại x.

Đại lượng Δy = f(x) – f(x) = f(x + Δx) – f(x) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

Xem thêm:  Product manager là gì? Công việc của Product Manager?

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 2

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x, tính Δy = f(x + Δx) – f(x).

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 3

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại x.

Chú ý:

a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x thì nó không có đạo hàm tại x.

b) Nếu y = f(x) liên tục tại x thì có thể không có đạo hàm tại x.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến MT của đồ thị hàm số tại điểm M(x; f(x)).

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x; f(x)) là

y – y = f’(x)(x – x)

trong đó y = f(x).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t) = s’(t).

Cường độ tức thời: I(t) = Q’(t).

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

x → f’(x)

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Bài 1 (trang 156 SGK Đại số 11):

Tìm số gia của hàm số f(x) = x3, biết rằng:

Xem thêm:  Machine learning là gì ? Sự khác nhau giữa Machine learning và Deep learning

a.x = 1; Δx = 1;

b.x = 1; Δx = -0,1;

Lời giải:

a. Δy = f(x + Δx) – f(x) = f(1 + 1) – f(1) = f(2) – f(1) = 23 – 13 = 7

b. Δy = f(x + Δx) – f(x) = f(1 – 0,1) – f(1) = f(0,9) – f(1) = (0,9)3 – 13 = -0,271.

Bài 2 (trang 156 SGK Đại số 11):

Tính Δy và Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 4 của các hàm số sau theo x và Δx:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 5

Lời giải:

Gọi Δ x là số gia của biến số x.

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 6

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 7

Bài 3 (trang 156 SGK Đại số 11):

Tính ( bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 8

Lời giải:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 9

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 10

Bài 4 (trang 156 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng hàm số:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 11

Không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Lời giải:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 12

Bài 5 (trang 156 SGK Đại số 11):

Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

a. Tại điểm (-1; -1);

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Lời giải:

Với mọi x ∈ R ta có:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 13

b) x = 2

⇒ y = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x) = f’(2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là :

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) k = 3

⇔ f’(x) = 3

⇔ 3x2 = 3

⇔ x2 = 1

⇔ x = ±1.

+ Với x = 1 ⇒ y = 13 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x = -1 ⇒ y = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

Xem thêm:  Drone là gì? Ứng dụng của UAV hiện nay?

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

Bài 6 (trang 156 SGK Đại số 11):

Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 14

a) Tại điểm Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 15 ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 16

Lời giải:

Ta có: Với mọi x ≠ 0:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 17

b) Tại x = -1

⇒ y = -1

⇒ f’(x) = -1.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 18 tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 19

⇒ Phương trình tiếp tuyến:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 20

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 21 có hệ số góc Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 22 bằng

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 23

Bài 7 (trang 157 SGK Đại số 11):

Một vật rơi tự do theo phương trình s = 1/2 gt2, trong đó g≈9,8m/s2 là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + Δt, trong các trường hợp Δt=0,1s; Δt=0,05s; Δt=0,001s.

b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Lời giải:

a) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + Δt là:

Pasted into Dinh Nghia Va Y Nghia Cua Dao Ham Toan 11 1 24

Trên đây là nội dung liên quan đến Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *