Dãy Số – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Dãy Số – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u: N* → R

n → u(n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

u1, u2, u3,…, un,…,

trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, un, trong đó u1 là số hạng đầu, un là số hạng cuối.

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Xem thêm:  Phép Đồng Dạng - Toán 11

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 1

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ∈ N*.

Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n ∈ N*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (–3)n tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa 2

Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

un ≤ M, ∀ n ∈ N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

un ≥ m, ∀ n ∈ N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N*

II. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11):

Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

Dãy Số - Toán 11 39

Lời giải:

Dãy Số - Toán 11 40

Dãy Số - Toán 11 41

Dãy Số - Toán 11 42

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11):

Cho dãy số (un), biết u1 = – 1, un+ 1 = un + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

Lời giải:

a. u1 = – 1, un + 1 = un + 3 với n > 1

u1 = – 1;

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Một người Hà Nội - Nguyễn Khải

u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 – 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) – 4

Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11):

Dãy số (un) cho bởi u1 = 3, un+1 = √(1+un2) , n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy số

Dãy Số - Toán 11 43

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

un =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)

Dãy Số - Toán 11 44

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11):

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

Dãy Số - Toán 11 45

Lời giải:

a. Với mọi n ∈ N ta có:

Dãy Số - Toán 11 46

⇒ (un) là dãy số giảm.

Dãy Số - Toán 11 47

Với mọi n ∈ N có:

Dãy Số - Toán 11 48

⇒ (un) là dãy số tăng.

c. un = (-1)n.(2n + 1)

Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …

⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, …

⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm.

Xem thêm:  Nhị Thức Niu-tơn - Toán 11

Dãy Số - Toán 11 49

với n ∈ N*, n ≥ 1

Xét:

Dãy Số - Toán 11 50

⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un

Vậy (un) là dãy số giảm

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11):

Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Dãy Số - Toán 11 51

Lời giải:

a. un = 2n2 – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1

⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1.

⇒ un ≥ 1

⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b. Ta có : Dãy Số - Toán 11 52 ∀ n ≥ 1.

⇒ (un) bị chặn dưới

Dãy Số - Toán 11 53 ∀ n ≥ 1.

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) là dãy bị chặn.

Dãy Số - Toán 11 54

+ Ta có : 2n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

Dãy Số - Toán 11 55 ∀ n ∈ N*.

⇒ (un) bị chặn dưới.

+ 2n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

Dãy Số - Toán 11 56 ∀ n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) bị chặn.

d. un = sin n + cos n.

Dãy Số - Toán 11 57

Vậy dãy số (un) bị chặn.

Trên đây là nội dung liên quan đến Dãy Số – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *