Cấp Số Nhân – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Cấp Số Nhân – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

un+1 = unq với n ∈ N*

Đặc biệt:

+ Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…

+ Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…

+ Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Ba Cống Hiến Vĩ Đại Của Các Mác - Ăng-ghen

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

un = u1.qn-1 với n ≥ 2

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

uk2 = uk-1.uk+1 với k ≥ 2

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Định lí 3

Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.

V. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 103 SGK Đại số 11):

Chứng minh các dãy số Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 1 là các cấp số nhân.

Lời giải:

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 2

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội q = 2.

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 3

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 4

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 5

⇒ (un) là cấp số nhân với công bội Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 4

Bài 2 (trang 103 SGK Đại số 11):

Cho cấp số nhân (un) với công bội q

a.Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q

b.Biết q = 2/3 , u4 = 8/21 . Tìm u1

c.Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

a. Ta có: u6 = u1.q5

hay 486 = 2.q5

⇒ q5 = 243

⇒ q = 3.

b. u4 = u1.q3

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 6

c. un = u1.qn – 1

hay 192 = 3.(-2)n – 1

⇒ (-2)n – 1 = 64

⇒ (-2)n – 1 = (-2)6

⇒ n – 1 = 6

⇒ n = 7.

Xem thêm:  Hàm Số y = ax + b - Toán 10

Vậy u7 = 192.

Bài 3 (trang 103 SGK Đại số 11):

Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:

a.u3 = 3 và u5 = 27

b.u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50

Lời giải:

Giả sử CSN (un) có công bội q.

a. Ta có: u3 = u1.q2 ; u5 = u1.q5.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 7

+ Với q = 3 ta có cấp số nhân : Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 8 ; 1 ; 3 ; 9 ; 27.

+ Với q = -3 ta có cấp số nhân : Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 8 ; -1 ; 3 ; -9 ; 27.

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 10

Vậy 5 số hạng là:

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 11

Bài 4 (trang 104 SGK Đại số 11):

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên u1.

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 12

Vậy CSN (un) là: 1; 2; 4; 8; 16; 32.

Bài 5 (trang 104 SGK Đại số 11):

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1, 8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 13

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1,014

Xem thêm:  Bất Đẳng Thức - Toán 10

Và số hạng đầu u1 = 1,8 triệu

Theo công thức: un = u1.qn – 1

⇒ Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:

u6 = 1,8.(1,014)5 ≈ 1.93 triệu (người)

⇒ Dân số sau 10 năm là:

u11 = 1,8.(1,014)10 ≈ 2.07 triệu (người).

Bài 6 (trang 104 SGK Đại số 11):

Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C1 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 14

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.

Lời giải:

Cạnh của hình vuông C1 là: a= 4 (giả thiết)

Giả sử cạnh hình vuông thứ n là an.

Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :

Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 15

⇒ (an) là cấp số nhân với a1 = 4 và công bội Pasted into Cáp Só Nhan Toan 11 16

Trên đây là nội dung liên quan đến Cấp Số Nhân – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *