Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập – toán lớp 12

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen với số thực trong những năm học trước.

Vì vậy, ở bài viết này HocThuat.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

– Tập hợp số phức: 1557366432qbylwrsghf

– Số phức (dạng đại số):

(, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 1557379348hulzyccde7

2. Biểu diễn hình học của số phức

– Số phức: , (được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi  trong mặt phẳng Oxy (mp phức).biểu diễn hình học của số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

– Cho 2 số phức: 1557379444iv2hraf98f, khi đó:

1557379474sytvjqqgf01557379506ghcca1b16k

1557379559e4p4pwgphw

– Số đối của:  là 1557379629mpkhmf7y3u

– Nếu 15573796550ldv65z77e biểu diễn z, 1557384572iwu533avha biểu diễn z’ thì  biểu diễn 1557379759nu9rr1dffe và  biểu diễn 15573798159g215aa9os.

4. Phép nhân 2 số phức

– Cho 2 số phức: 1557379444iv2hraf98f, khi đó:

 1557379913tazg50y9fc

15573799458p1893r2vs

5. Số phức liên hợp

– Số phức liên hợp của số phức 15573799763ccuaw0afq là 

♦ 15573801067wpvhvcjzh1557380139ta3cbw5cs515573801786s94icwez3

♦ z là số thực ⇔

♦ z là số thuần ảo: 1557380249wl4ayuaq96

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 1557380279y2afy64ww9

♦ 1557380311nl4rc9tq0n

♦ 15573803436tbbzylpl6

7. Mô-đun của số phức

– Cho số phức: , thì:

♦ 15573804406ccimotqjs1557380477tsjypdncda

♦ 1557380510i2ial2z8rr

♦ 15573805417drhi5z94l

♦ 1557380568t0uvaeih3o

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 1557380604lyh04nzor4 là căn bậc 2 của số phức 1557380634tfgzhau2vu 15573806590btbjb7irc

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 1557380681c2ornigrq7

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là

9. Phương trình bậc 2 của số phức

– Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

– Khi đó: Δ = B2 – 4AC

– Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1557380730n5ncsrmeey

– Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

* Chú ý: Nếu 1557380776qricewz49l là 1 nghiệm của (*) thì 1557380810ud89q02rof cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

155738088365chwkch23

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 1557380919wlr1y0u1by,15573809454csmcmum98

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

– Cho z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r'(cosφ’ + isinφ’)

• 1557380981ghwolzn2zb

1557381007eqcowrqjmk

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

1557381035ejb96l3r321557381071sniw3bsl29

• 

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 và 1557381193iun0s5qy4f

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

1557381224nb9wrh51fo

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

– Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,…

Xem thêm:  Top 5 Trường Đào Tạo Ngành Hệ Thống Thông Tin Quản Lý Tốt Nhất

° Ví dụ 1: Cho số phức 1557381278odc2sw5p6f Tính các số phức sau: 1557381310zl16698gn4

° Lời giải:

+) Ta có: 1557381339n13w8u74cj

+) Ta có: 1557381372fhkaf708hh 

1557384743qr30qp7uj5

1557384767poh9yo6nut 1557384777mjmza3l5c2

+) Ta có: 1 + z + z2 15573847985bzlpmhkl2

* Tương tự: Cho số phức 1557384826vdlk23i8st , hãy tính: 1 + z + z2

– Ta có:  1557384853umutciz5tm

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + … + i2009

b) M = 15573879644tb5jt64vd

c) N = (1 – i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 – i2010 = (1 – i)(1 + i + i2 + i3 +…+ i2009)

1 – i2010 = 1 – (i2)1005 = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +…+ i2009 = 1557384897kcup5b09441557384917sqy6mugr79

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

1557387986k09bw4akl8 

c)  1557388040c90r7dz88k

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả ,1557388075qf5i5iayg4 tính 1557388103iq677mo72z

° Lời giải:

– Đặt 1557388134e17nhgzwqs

– Từ giải thiết ta có: 1557388157vodk19hfdz

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 – a2)2 + (b1 – b2)2 = 1

⇒ |z1 – z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a)

b) 1557392653dcysabaynm

° Lời giải:

a) 

15573927040rw3zke6q2 15573927225dk0k5k6q1155739274512wz7kpgh1

b) 1557392653dcysabaynm

155763197583ht6vc4f31557631977ovt8ly7kqi (*)

mà 

thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

Vậy số phức cần tìm là 1 + i1 – i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 15576319812nmg2yg943, và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

– Ta có: 

+) TH1: 15576319880pssygkpeb

+) TH2: 1557631989de5p0tiiiv

15576319912wo1w9y6ii

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 5i)

b) z = (-1 + i)3 – (2i)3

c) 1557397388jnl9qcr6sb

° Lời giải:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 5i) = (2 – 3) + (1 – 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 – (2i)3 = (-1 + i3 + 3i – 3i2) – 8i3 = (-1 – i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  1557397388jnl9qcr6sb  

 1557397544ep92r7kqi8

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 – 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 – 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 4i

° Lời giải:

a) u = z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = (1 – 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 4i = (2 + 5i)(3 – 4i) = (6 – 8i + 15i – 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

– Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 – 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

– Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

– Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 1557392763drr6h3h2s9

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: 1557481397w6aiv74kaa

° Lời giải:

– Có 155748139901h7a7gjv1 = 1  – 3i – 3 + i = -2 – 2i

⇒ 1557481397w6aiv74kaa 1557631993vdl4zufid2

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 155763199469d8eb4cnt, tìm mô-đun của số phức 15576319968o7ta3tb1j

° Lời giải:

– Ta có: 1557631997hayw01zafc

1557631999arprsnyoqb

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a – bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a) 15576320028lm6vs89s0

b) 1557632003zddo3m642u

° Lời giải: 

a) 15576320028lm6vs89s0

1557632006kodvjlc8sh

b) 1557632003zddo3m642u

155763201032ry9fi3qq 1557632012qt1wmdgyk6

Xem thêm:  Tổng hợp các bài văn nghị luận về tác phẩm Vội Vàng - Xuân Diệu

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 1557632013eusanis2hk

° Lời giải: 

– Ta có: 1557632015t6dqjogumh 1557632016nplnpu25ol

⇒ Số phức liên hợp của z là: 15576320188wbp1ukrc4

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình 1557632019quab2v9a4n.

° Lời giải: 

– Ta có 1557632022iheoeqs9us

– Khi đó: 

– Giải hệ này ta được các nghiệm  1557632025t5iy7t3q8a

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

– Cách giải: Sử dụng công thức: 15573928040appnzf48i

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a) 1557654913gbam76ptey

b) 15576549154l8lvd78vh 

° Lời giải: 

a) 1557654913gbam76ptey

– Ta có: 15576549189ishp5wte415576549193fcczmndpw

15576549216ntv53igyf

b) 15576549154l8lvd78vh

– Ta có: 15576549249yw7ca3tru,

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

– Cách giải: Sử dụng công thức: 1557392826l7vpqiwum4

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

– Ta có: 1557654929nljhuediq4

1557654930t928ii6210

– Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được 1557654932ksz00um5iy

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức 1557392763drr6h3h2s9

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

– Để z là số thực ⇔ b=0

– Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

– Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

– Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a)  có phần thực = 3

b) 1557716339ar4v54621k là số thực

c) 1557716341mgh1qrw65h

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 1557710253ejcievv0cy

155771634228zlw24nef

Với 155771634411gcw62gmy

– Theo bài ra,

1557716346mciqrb2y7m

– Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

1557716347h4woe7ius2

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 155771634983nkhnypo7 bán kính 1557716351hp68wmhrys

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức 1557716352h34k7barf9

1557716354kdayq1wqf8 là số thực ⇔ 1557716355r5urta7g8k song song với Ox

– Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức 1557716357975hl1f8ch

– Khi đó: 

– Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện 1557716365inw5gcidid. Chứng minh 1557716367786246c5r3

° Lời giải: 

– Ta có: 1557716365inw5gcidid 15577163707p15lzv487

 hay   (1)

– Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 15577163733sbyu36ijl 

15577163762zv5hgwvuj 1557716377vgvve3o9wf

1557716380ftc8casliu

1557716382mfavomo87j (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 1557716384ypa1jbzksp

b) 1557716385a90cp3zscd

° Lời giải: 

a) Ta có:

 15577163877zefcgr7wo 1557716388trg2afhz5s

  1557716392jabnarl7b8

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

 1557716395fy5psg9lop

 

   (1)

– Mặt khác:

 1557716399w6age5yiyl 1557716401t7acueruia

Vì  nên 1557716404e1hflcns0e  (2)

– Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* Phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

– Lưu ý:

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

◊ TH1: a > 0 ⇒ 1559105211fy5j9fm41l

◊ TH1: a < 0 ⇒ 1559105212gz4yvklt0m

♦ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức (x + yi)2 = a + bi, hay x2 – y2 + 2xyi = a + bi , giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

– Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

– Cách giải: Xét biệt thức .

» Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: 15591052169njd8ln8rw

» Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1559105218ovo61oiae0

– Định lý Vi-ét: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 1559105219qnqphchbng 1559105220un6asr9e5e

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 15591052238eh8m1ch9r

b) 1559105225y1zgkhlt9j

c) Gọi 1559105226k3w28rr3gn là căn bậc 2 của số phức , ta có:

1559105229mbzrzceyss 1559105230ob5eeouys5

 1559105233t4cwpnhvua 1559105234j1nm6lwh4k 

Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm .

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có 15591052385cyslyqf08 với z1, z2 là nghiệm của (*).

Xem thêm:  Phép Quay - Toán 11

* Lời giải:

– Gọi m=a+bi với a,b∈R.

– Theo bài toán, ta có: 15591052385cyslyqf08 1559105241k2vp0bym0y

Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên: .

– Vậy ta có hệ: 

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 – 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 – 5i = 0

c) 1559105245plj1umve6v

* Lời giải:

a) Ta có: z2 – 2z + 17 = 0 ⇔ z2 – 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 1559105246315i7bt25k 15591052482gk4t8su5h 

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 1559105250t4i6o8hc4s

* Lời giải:

– Nhận thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho z2, ta được: 1559105252spp3y12jui

1559105253fdra0n9rp7

1559105255o2aphan1ye

– Đặt 1559105256d31dagzeu4, thi (*) trở thành: 15591052579zh63yczmy

1559105259i218j2f1qn 1559105260v5ue4b1t17

155910526143yisg8d9h hoặc 

– Với 1559105264dyhn5wk88j 1559105265afihot5p89

1559105267wi2tl01ehh hoặc

– Với 15591112276urutai6g3  1559105271g0o50j8h5d

1559105272g6riwuldcn hoặc 15591052733kivfzmd8u

– Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 1559105275anib9066us

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

b) 1559105277qk3wu0bc1w

c) 1559105280gtqcpjz4pp

d) 1559105282j2sln08jj2

e) 15591052791m9l6mrvas

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành:

1559120669qsfvnc33a0

– Với 

– Với 

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

15591206736eud7bfp75

15591206758z4o34pf1f

15591206764tq29trk0d (*)

– Đặt 1559120677zqhl14trzz, khi đó pt (*) trở thành: 1559120679qb7jf0plan  hoặc 1559120681c6cikwfa4r

– Với 1559120683fhfdd2ozm1 và 1559120684ta93rssr2r

– Với 1559120681c6cikwfa4r hoặc 1559120687cmy0q28kz5

c) Đáp án: 1559120688sybn0zg4w1

d) Đáp án: 1559120689jvc26urjme

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Phương pháp giải:

° Công thức De – Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

– Công thức 1: 155912069297nqdbrqjr

– Công thức 2: 

– Số phức z=a+bi ta có: 

1559120696jvp495v0wd,

với 1559120698hwh25b9dhg và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 1559120699swpscehegi

b) 1559120700krv15ksfdf

c) 1559120702w1ri2vlgmd

* Lời giải:

a) Ta có:

1559120703zwiegksqel 1559120704e8ijfvepqs1559120706n5dzc4ojsm

– Vậy 15591207089b2wwdj8if

1559120710rrtpj3h1b5 1559120711itp6j4rmyq

– Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

1559120713942rhlzih1

15591207152z8usyr3yc1559120718pqs045qylm

c) Ta có:

1559120719enafeusvs8 1559120721u3if2itevf1559120722g1qlpw2w6r

1559120723jrsat16ipe

1559120725w5vi54a5ja

15591207264w6yvkm8iv

1559120728irkjw1urq5

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: , tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

– Ta có: 15591207313yaq86hrom

– Lại có: 1559120732w258h6nc7q và 1559120733gudnhyc47o 15591207352vton0lk7l

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1559120736ni31klm7qg

– Mặt khác 1559120737g8zzmmhvc7

1559120739wfqoyo6ru0

1559120740vgoghfcbyd

1559120741mlaycoj220

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 1559120743am5o0l9z2s

* Lời giải:

– Đặt  thì 1559120745ym9gpyt2ms

– Phương trình đã cho trở thành: 15591207474rud6u1n1n

 (*)

– Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế  (*) với (z+1) ta được:

1559120750w9sp6esnb7 15591207510bunth6hz4

1559120752lty6d6nhzf

– Nên 15591207548fb7ntagab vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

– Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 1559120755zcc6gulzgt   1559120759l8ctyplj9w 15591207606epuetvng5  với 15591207633h51zp4p1d.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 15591207651b4ph0ie9r, tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

* Lời giải:

– Đặt 1559120766bmq49azj7g, khi đó 15591207651b4ph0ie9r

1559120769bjj6o7ludd. Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm I(4;-3) bán kính R=3.

– Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và 1559120770kje65s2til

– Kẻ MH⊥Ox, theo định lý Talet, ta có: 1559120771m2hezz1j87

– Lại có: 1559120774pi7fw2mqvt

⇒ Vậy số phức cần tìm là: 155912077596ec1tvvku

° Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn 1559120777q92w45cjr4, tìm GTLN và GTNN của |z|.

* Lời giải:

Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

1559120778ug8zj070fi

⇒ 15591207811wd6fyght8

– Với  1559120782fmvv9v4chu

– Với 1559120783n3jldm3eav

♥ Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

– Theo giả thiết ta có: 

 (*)

– Do 1559120788o9a5ia4fv7 1559120789unfdv86moh

– Nên từ (*) ta có: 15591207905tvowqdns0

1559120792399212432y

– Tương tự trên, ta có min|z|=1; max|z|=9.

° Ví dụ 3: Cho số phức 1559120793eqomo17wvc

a) Tìm m để 1559120794f3znvn3ncn

b) Tìm GTNN của số thực k sao cho tồn tại m để |z-1|≤k.

* Đáp án: a) 1559120796nrmpu71ean;  b) 1559120798kk602o0njv

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về Số phức, cách giải và bài tập ở trên giúp ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HocThuat.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *