Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập – toán lớp 12

Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen với số thực trong những năm học trước.

Vì vậy, ở bài viết này HocThuat.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

– Tập hợp số phức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 1

– Số phức (dạng đại số): Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 2

(Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 3, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 4Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 5

2. Biểu diễn hình học của số phức

– Số phức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 2, (Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 3được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 8 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).biểu diễn hình học của số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

– Cho 2 số phức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 9, khi đó:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 10Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 11

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 12Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 13

– Số đối của: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 14 là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 15

– Nếu Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 16 biểu diễn z, Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 17 biểu diễn z’ thì Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 18 biểu diễn Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 19 và Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 20 biểu diễn Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 21.

4. Phép nhân 2 số phức

– Cho 2 số phức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 9, khi đó:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 23 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 24

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 25

5. Số phức liên hợp

– Số phức liên hợp của số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 26 là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 27

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 28Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 29Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 30Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 31Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 32

♦ z là số thực ⇔ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 33

♦ z là số thuần ảo: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 34

6. Phép chia số phức khác 0

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 35

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 36

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 37

7. Mô-đun của số phức

– Cho số phức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 14, thì:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 39

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 40Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 41

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 42

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 43

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 44

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 45 là căn bậc 2 của số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 46 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 47

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 48

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 49

9. Phương trình bậc 2 của số phức

– Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

– Khi đó: Δ = B2 – 4AC

– Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 50

– Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 51

* Chú ý: Nếu Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 52 là 1 nghiệm của (*) thì Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 53 cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 14 (z≠0).

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 55

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 56,Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 57

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

– Cho z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r'(cosφ’ + isinφ’)

• Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 58

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 59

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 60Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 61

• Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 62

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 63 và Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 64Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 65

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 66Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 67

Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

– Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,…

° Ví dụ 1: Cho số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 68 Tính các số phức sau: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 69

° Lời giải:

+) Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 70

+) Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 71 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 72

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 73Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 74

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 75 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 76

+) Ta có: 1 + z + z2 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 77

* Tương tự: Cho số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 78 , hãy tính: 1 + z + z2

– Ta có:  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 79

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 80Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 81

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + … + i2009

b) M = Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 82

c) N = (1 – i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 – i2010 = (1 – i)(1 + i + i2 + i3 +…+ i2009)

1 – i2010 = 1 – (i2)1005 = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +…+ i2009 = Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 83Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 84

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 85 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 86

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 87 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 88

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 89,Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 90 tính Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 91

° Lời giải:

– Đặt Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 92

– Từ giải thiết ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 93

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 – a2)2 + (b1 – b2)2 = 1

Xem thêm:  Các dạng bài tập toán phương trình mặt phằng Oxyz từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 12

⇒ |z1 – z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 94

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 95

° Lời giải:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 94

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 97 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 98Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 99

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 95

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 101Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 102 (*)

mà Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 103

thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

Vậy số phức cần tìm là 1 + i1 – i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 104 

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 105, và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 104

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 104Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 108

+) TH1: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 109

+) TH2: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 110

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 111

 Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 5i)

b) z = (-1 + i)3 – (2i)3

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 112

° Lời giải:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 5i) = (2 – 3) + (1 – 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 – (2i)3 = (-1 + i3 + 3i – 3i2) – 8i3 = (-1 – i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 112 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 114 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 115

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 116 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 117

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 – 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 – 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 4i

° Lời giải:

a) u = z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = (1 – 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 – 4i = (2 + 5i)(3 – 4i) = (6 – 8i + 15i – 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

– Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 – 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

– Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:biểu diễn hình học của số phức° Lời giải:

– Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 118

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 119

° Lời giải:

– Có Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 120 = 1  – 3i – 3 + i = -2 – 2i

⇒ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 119 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 122

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 123, tìm mô-đun của số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 124

° Lời giải:

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 125

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 126

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 127

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a – bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 128

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 129

° Lời giải: 

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 128

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 131

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 129

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 133 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 134

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 135

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 136

° Lời giải: 

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 137 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 138

⇒ Số phức liên hợp của z là: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 139

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 140.

° Lời giải: 

– Ta có Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 141Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 142

– Khi đó: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 143

– Giải hệ này ta được các nghiệm  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 144

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

– Cách giải: Sử dụng công thức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 145

Xem thêm:  Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình - Chuyển đề Toán 12

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 146

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 147 

° Lời giải: 

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 146

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 149Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 150

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 151

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 147

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 153, Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 154

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 155

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

– Cách giải: Sử dụng công thức: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 156

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 157

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 158

– Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 159

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 118

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

– Để z là số thực ⇔ b=0

– Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

– Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

– Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 161 có phần thực = 3

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 162 là số thực

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 163

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 164

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 165

Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 166

– Theo bài ra,

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 167

– Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 168

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 169 bán kính Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 170

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 171

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 172 là số thực ⇔ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 173 song song với Ox

– Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 174

– Khi đó: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 175

– Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 176. Chứng minh Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 177

° Lời giải: 

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 176 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 179

 hay Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 180  (1)

– Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 181 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 182

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 183 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 184

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 185Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 186

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 187 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 188

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 189

° Lời giải: 

a) Ta có:

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 190 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 191

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 192 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 193

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 194

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 195

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 196

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 197  (1)

– Mặt khác:

 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 198 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 199

Vì Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 200 nên Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 201Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 197  (2)

– Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* Phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

– Lưu ý:

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

◊ TH1: a > 0 ⇒ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 203

◊ TH1: a < 0 ⇒ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 204

♦ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức (x + yi)2 = a + bi, hay x2 – y2 + 2xyi = a + bi Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 205, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

– Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

– Cách giải: Xét biệt thức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 206.

» Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 207

» Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 208

– Định lý Vi-ét: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 209 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 210

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 211

* Lời giải:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 212

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 213

c) Gọi Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 214 là căn bậc 2 của số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 211, ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 216 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 217

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 218 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 219 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 220 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 221

Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 222.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 223 với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

– Gọi m=a+bi với a,b∈R.

– Theo bài toán, ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 223 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 225

Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 226.

– Vậy ta có hệ: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 227

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 – 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 – 5i = 0

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 228

* Lời giải:

a) Ta có: z2 – 2z + 17 = 0 ⇔ z2 – 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 229 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 230 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 231

Xem thêm:  Trà Xanh là gì ? Hải Tú có liên quan gì đến Nickname Trà Xanh ?

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 232

* Lời giải:

– Nhận thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho z2, ta được: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 233

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 234

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 235

– Đặt Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 236, thi (*) trở thành: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 237

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 238 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 239

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 240 hoặc Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 241

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 242 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 243

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 244 hoặc Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 245

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 246  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 247

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 248 hoặc Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 249

– Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 250

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 251

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 252

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 253

d) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 254

e) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 255

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 256

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 257

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 258

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 259

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 260

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 261 (*)

– Đặt Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 262, khi đó pt (*) trở thành: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 263 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 264 hoặc Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 265

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 266 và Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 267

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 268 hoặc Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 269

c) Đáp án: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 270

d) Đáp án: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 271Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 272

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Phương pháp giải:

° Công thức De – Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

– Công thức 1: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 273

– Công thức 2: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 274

– Số phức z=a+bi ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 275

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 276,

với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 277 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 278

b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 279

c) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 280

* Lời giải:

a) Ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 281 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 282Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 283

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 284

– Vậy Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 285

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 286 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 287

– Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 288Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 289

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 290Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 291Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 292

c) Ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 293 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 294Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 295

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 296

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 297

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 298

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 299

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 300, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

– Ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 301

– Lại có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 302 và Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 303 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 304

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 305

– Mặt khác Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 306

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 307

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 308

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 309

° Ví dụ 3: Giải phương trình: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 310

* Lời giải:

– Đặt Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 311 thì Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 312

– Phương trình đã cho trở thành: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 313

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 314 (*)

– Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế  (*) với (z+1) ta được:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 315 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 316

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 317

– Nên Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 318 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

– Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 319 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 320 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 321 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 322 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 323 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 324 với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 325.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 326, tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

* Lời giải:

– Đặt Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 327, khi đó Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 328

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 329. Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm I(4;-3) bán kính R=3.

– Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 330

– Kẻ MH⊥Ox, theo định lý Talet, ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 331Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 332

– Lại có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 333

⇒ Vậy số phức cần tìm là: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 334

° Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 335, tìm GTLN và GTNN của |z|.

* Lời giải:

Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 336Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 337

⇒ Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 338

– Với  Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 339

– Với Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 340

♥ Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

– Theo giả thiết ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 341

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 342 (*)

– Do Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 343 Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 344

– Nên từ (*) ta có: Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 345

Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 346

– Tương tự trên, ta có min|z|=1; max|z|=9.

° Ví dụ 3: Cho số phức Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 347

a) Tìm m để Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 348

b) Tìm GTNN của số thực k sao cho tồn tại m để |z-1|≤k.

* Đáp án: a) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 349;  b) Các dạng toán về số phức, cách giải và bài tập - toán lớp 12 350

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về Số phức, cách giải và bài tập ở trên giúp ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HocThuat.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *