Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn – Toán 10

Để học tốt Đại 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn – Toán 10  và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho f(xo) < g(xo), (f(xo) ≤ g(xo)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Chú ý:

Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) (g(x) ≥ f(x)).

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Xem thêm:  Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản - Toán 11

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x)

4. Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x

P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x

Xem thêm:  Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai - Toán 10

5. Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x

6. Chú ý

Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau

Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.

Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp

P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.

P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết

P(x) < Q(x) <=> –Q(x) < –P(x)

Rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.

IV. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10):

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 39

Lời giải

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 40

Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1}

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 41

BPT xác định khi

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 42

Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–2; 1; 2; 3}

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 43

BPT xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.

Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–1}

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 44

Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = (–∞; 1] \ {–4}.

Xem thêm:  Phương Trình Đường Tròn - Toán 10

Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10):

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 45

Lời giải

a) Điều kiện xác định x ≥ –8

Ta có: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 46  với mọi x ≥ –8.

Do đó BPT Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 47 vô nghiệm.

b) Tập xác định: D = R.

 

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 48

 

Do đó BPT Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 49 vô nghiệm.

c) Tập xác định D = R.

Ta có:

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 50

Bài 3 (trang 88 SGK Đại Số 10):

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) -4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0

b) 2x2 + 5 ≤ 2x – 1 và 2x2 – 2x + 6 ≤ 0

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 51

Lời giải

a) Nhân hai vế của BPT: –4x + 1 > 0 với (–1) < 0 ta được BPT: 4x – 1 < 0 nên hai BPT đó tương đương.

Viết là –4x + 1 > 0 ⇔ 4x – 1 < 0.

b) Ta có:

2x2 + 5 ≤ 2x – 1

⇔ 2x2 + 5 + 1 – 2x ≤ 2x – 1 + 1 – 2x (Cộng cả hai vế của BPT với 1 – 2x).

⇔ 2x2 – 2x + 6 ≤ 0.

Vậy hai BPT đã cho tương đương: 2x2 + 5 ≤ 2x – 1 ⇔ 2x2 – 2x + 6 ≤ 0.

c) Với mọi x ta có: x2 ≥ 0 nên x2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó, Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 52 luôn xác định với mọi x.

Ta có: x + 1 > 0

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 53

d) Điều kiện x ≥ 1, khi đó 2x + 1 > 0.

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 54

Bài 4 (trang 88 SGK Đại Số 10):

Giải các bất phương trình sau:

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 55

b. 2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x2 – 5

Lời giải

a) Tập xác định D = R.

Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 56

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn - Toán 10 57

b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x2 – 5

⇔ 2x2 + 6x – x – 3 – 3x + 1 ≤ x2 + 3x – x – 3 + x2 – 5

⇔ 2x2 + 2x – 2 ≤ 2x2 + 2x – 8

⇔ 6 ≤ 0 (Vô lý).

Vậy BPT vô nghiệm.

Trên đây là nội dung liên quan đến Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *