Bất Đẳng Thức – Toán 10

Để học tốt Toán 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 10. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Bất Đẳng Thức – Toán 10 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Bất Đẳng Thức - Toán 10 31

2. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

Bất Đẳng Thức - Toán 10 32

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất Đẳng Thức - Toán 10 33

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:

+ Phương pháp biến đổi tương đương

Xem thêm:  7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng

+ Phương pháp sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính
chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức.

+ Phương pháp phản chứng

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0

Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x < 0 thì a sai)

b) Ta có: 4 < 8 nên để 4x > 8x thì x < 0 .

Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x < 0

c) chỉ đúng khi x ≠ 0

d) Ta có: 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số)

Do đó, khẳng định đúng với mọi x.

Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.

Bài 2 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: – 1 < 0 < 1. Do đó,

Bất Đẳng Thức - Toán 10 34

Lại có x > 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)

Bất Đẳng Thức - Toán 10 35 (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với Bất Đẳng Thức - Toán 10 36

Bất Đẳng Thức - Toán 10 37

Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.

Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)2 < a2

⇔ a2 – (b – c)2 > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

Xem thêm:  Bảng chữ cái Tiếng Đức chuẩn & đầy đủ nhất

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)2 < c2 (2)

(c – a)2 < b2 (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2

⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2

⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2

⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

Bài 4 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2

⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)

Dấu « = » xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.

Bài 5 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Đặt Bất Đẳng Thức - Toán 10 38  (điều kiện t ≥ 0), khi đó

Bất Đẳng Thức - Toán 10 39

Ta cần chứng minh : t8 – t5 + t2 – t + 1 > 0

2.(t8 – t5 + t2 – t + 1) = t8 + t8 – 2t5 + t2 + t2 – 2t + 1 + 1

= t8 + (t4 – t)2 + (t – 1)2 + 1.

≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.

(Vì t8 ≥ 0 ; (t4 – t)2 ≥ 0; (t – 1)2 ≥ 0)

Bất Đẳng Thức - Toán 10 40

Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Xem thêm:  Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn - Toán 10

Lời giải

Bất Đẳng Thức - Toán 10 41

Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.

ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO2 = 1 (hằng số)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Bất Đẳng Thức - Toán 10 42

Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.

Bất Đẳng Thức - Toán 10 43

Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên

Bất Đẳng Thức - Toán 10 44

Vậy tọa độ là Bất Đẳng Thức - Toán 10 45

Trên đây là nội dung liên quan đến Bất Đẳng Thức – Toán 10 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!

[Total:    Average: /5]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *