Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11

Để học tốt Đại 11, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 11. Dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nội dung Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 và giải một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:  hay u_n → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu

Kí hiệu:  hay v_n → a khi n → +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)  với k nguyên dương;

b)  nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì

Chú ý: Từ nay về sau thay cho  ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

– Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

– Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì

V. Giải Bài Tập SGK

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11):

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n)

b. Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10^-6 g.

Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã:

Sau 2 chu kì bán rã:

Sau 3 chu kì bán rã:

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã :

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10^-6 g = 10^-9 kg

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11):

Biết dãy số (un) thỏa mãn  với mọi n. Chứng minh rằng: lim u_n = 1.

Lời giải:

Đặt v_n = u_n – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại thỏa mãn

⇒  với mọi n ≥ n₀.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11):

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi u_n là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u₁, u₂, u₃ và u_n

b. Tính lim S_n với S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n

Lời giải:

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a²

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện tích là:

Từ đó , ta có:

 (Tổng của n số hạng đầu của CSN)

Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính tổng:

Lời giải:

Dãy  là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = -1 và công bội

Tổng của cấp số nhân đó là

Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11):

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

Ta có: a= 1,02020202… ( chu kì 2)

= 1 + 0,02+ 0,0002+ 0,000002 + …..

Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11):

Tính các giới hạn sau:

Lời giải:

Trên đây là nội dung liên quan đến Giới Hạn Của Dãy Số – Toán 11 được dean2020.edu.vn đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn. Hy vọng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại cho bạn những thông tin bổ ích nhé!